Discussion :

[darkman19320]

Bonjour tout le monde.
J'ai trouvé sur ce site (http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourk...try/pointline/) l'équation pour trouver le point le plus proche d'une droite (projection orthogonale).
Cependant, mes maths sont un peu rouillées et je ne comprends pas comment on arrive à passer de:

Code :

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[P3 - P1 - u(P2 - P1)] dot (P2 - P1) = 0

à

Code :

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[IMG]http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/pointline/pointline2.gif[/IMG]

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

Merci beacoup

[plegat]

Salut,

Tu calcules ton produit scalaire à partir de la formule courante V(x,y) dot V'(x',y')=xx'+yy'
En factorisant, tu arrives à la formule donnée, en notant que norme(P2-P1)²=(x2-x1)²+(y2-y1)²

[darkman19320]

Merci pour ta réponse.
Voici les différentes étapes qu'il fallait faire:

Code :

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(P3 - P1 - u*P2 + u*P1)*(P2 - P1) 
<=> P3*P2 - P3*P1 - P1*P2 + P1² - u*P2² + u*P2*P1 + u*P1*P2 - u*P1²
<=> P3*P2 - P3*P1 - P1*P2 + P1² - u*(P2-P1)²
 
u = ( P3*P2 - P3*P1 - P1*P2 + P1²) / (P2-P1)²
 
P1² - P1*(P3+P2) + P3*P2 = 0; //Equation 1 (du second degrés...) 
 
//Recherche du delta: D = b² - 4*a*c
//avec ici b = -(P3+P2), a = 1 et c = P3*P2;
D = P3² + 2*P3*P2  + P2² - 4*1*P3*P2 = P3² - 2*P3*P2 + P2²;
D = (P3 - P2)²;
 
// D > 0 (car on suppose que P3 et P2 ne sont pas le même point);
//donc on a deux solutions:
x1 = (-b - sqrt(D))/2*a;
x2 = (-b + sqrt(D))/2*a;
 
x1 = (P3+P2 - (P3-P2))/2 = P2;
x2 = (P3+P2 + (P3-P2))/2 = P3;
 
//l'équation 1 devient:
a*(x-x1)*(x-x2) = 0;
 
(P1 - P2)*(P1 - P3) = 0;
<=> (P2-P1)*(P3-P1) = 0; //(*(-1))
 
//on obtient donc:
u = (P3-P1)(P2-P1)/(P2-P1)²

Encore merci beaucoup pour le rappel ^^

[plegat]

Sinon, en plus rapide et plus simple:

Code :

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(P3 - P1 - u*P2 + u*P1)*(P2 - P1)
=[x3-x1-u(x2-x1)]*(x2-x1)+[y3-y1-u(y2-y1)]*(y2-y1)
=(x3-x1)*(x2-x1)+(y3-y1)*(y2-y1)-u[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
=(x3-x1)*(x2-x1)+(y3-y1)*(y2-y1)-u*||P2-P1||²
=0

d'où le résultat...