interpolation Lagrange

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bonjour, j'ai besoin de votre aide à tous pour mon projet matlab. je dois écrire une fonction matlab qui calcule les coefficients du polynome d'interpolation L(x) de lagrange sachant que :

L(x) = somme des bi.Pi(x) avec bi=b(xi) la fonction à interpoler (qui est sinus )et Pi(x)= produit des (x-xj)/(xi-xj) = 1 pour tout i et 0 quand j différent de j.

j'ai déja une fonction qui me calcule le polynome, mais après je ne sais pas quoi faire. voici ma fonction :
Code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 function P = lagrange(xi,n,f) %xi= vecteur (intervalle) for i=1:n, R=[0 1];%R est un polynome for j=1:n, if j==i, F(j,:)=[0 1] ; % F est un polynome else F(j,:)=[1 -xi(j)]/(xi(i)-xi(j)); end R = conv(F(j,:),R) end L(i,:) = R % L est un polynome end for i=1:n, S(i,:) = L(i,: )*f(xi(i))%termes du polynome de lag: P(x)=som Li(x)fi end P = sum(S) %polynome final d'interpolation return
merci pour votre aide!!!

19/03/2008, 23h41
FR119492

Salut !

As-tu fait exprès de choisir une des plus mauvaises méthodes d'interpolation ? Voir Wikipedia:

Citation:

Le phénomène de Runge met en lumière le fait que l'interpolation polynomiale n'est pas bien adaptée à l'approximation de fonctions.

Jean-Marc Blanc
20/03/2008, 08h37
Ehouarn

Bonjour,

"une des plus mauvaises méthodes d'interpolation" ?
Ben voyons.
Je laisse passer le (très polémique) "voir Wikipédia" en guise d'explication sérieuse et complète... en remarquant toutefois que la ligne précédent celle que tu sites, Jean-Marc, contredit cette même remarque.

Soyons clair, on ne peut pas généraliser; le "bon" ou "mauvais" comportement de l'interpolation (c.a.d: l'apparition du phénomène de Runge ou non) dépend de la fonction et des points de collocation utilisés; c.f. l'exemple archi-classique discuté là:
http://sonia_madani.club.fr/Cloaque/.../lagrange.html

Pour en revenir à la question initiale, il faudrait s'assurer de ce qui est entendu par "calculer les coefficients du polynôme d'interpolation L(x) de Lagrange". Peut-être s'agit-il simplement de redévelopper l'expression du polynôme de Lagrange et d'extraire les coefficients devant chaque monôme de sa représentation sous la forme a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 ?

Ehouarn
20/03/2008, 12h29
FR119492

Salut à tous !

Essayez par exemple avec la caractéristique B-H d'un matériau ferromagnétique ou la caractéristique U-I d'une diode.

Jean-Marc Blanc

Citation:

Envoyé par GM2Ppower

bonjour, j'ai besoin de votre aide à tous pour mon projet matlab. je dois écrire une fonction matlab qui calcule les coefficients du polynome d'interpolation L(x) de lagrange sachant que :

L(x) = somme des bi.Pi(x) avec bi=b(xi) la fonction à interpoler (qui est sinus )et Pi(x)= produit des (x-xj)/(xi-xj) = 1 pour tout i et 0 quand j différent de j.

j'ai déja une fonction qui me calcule le polynome, mais après je ne sais pas quoi faire. voici ma fonction :

Code:

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function P = lagrange(xi,n,f)
 
%xi= vecteur (intervalle)
for i=1:n,
   R=[0 1];%R est un polynome
   for j=1:n, 
      if j==i,
         F(j,:)=[0 1] ; % F est un polynome
      else
         F(j,:)=[1 -xi(j)]/(xi(i)-xi(j));
      end
      R = conv(F(j,:),R)
   end
   L(i,:) = R % L est un polynome
end
 
for i=1:n,
   S(i,:) = L(i,: )*f(xi(i))%termes du polynome de lag: P(x)=som Li(x)fi
end
 
P = sum(S) %polynome final d'interpolation
 
return

merci pour votre aide!!!

Voilà le code pour réaliser une interpolation de Lagrange :

Code:

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clear, close all
clc
 
% a=[0;1];
% b=[1;-1];
% c=[2;2];
% d=[3;-2];
% points = [a b c d];
 
xDebut=-1;
xFin=1;
N=100;
k=linspace(xDebut,xFin,N);
abscisse=cos(((2.*k)-1)*(pi/2*N));
ordonnee=(1./(1+25.*(abscisse).^2));
points=[abscisse ; ordonnee]
 
xi=[];
xj=[];
 
for i=1:length(points)
    xi=[xi points(1, i)];
end
 
for j=1:length(points)
    temp=[];
    for i=1:length(xi)
        if i~=j
            temp=[temp ; points(1, i)];
        end
    end
    xj=[xj  temp];
end
 
polynomes=[];
for i=1:length(xi)
    Coef=1;
    racines=[];
    for j=1:size(xj, 1)
        racines = [racines xj(j, i)];
        K=xi(1,i)-xj(j,i);
        Coef=Coef*K;
    end
    polynomes = [polynomes ; poly(racines).*(1/Coef)];
end
 
 
lagrange=[];
for i=1:length(xi)
    lagrange=[lagrange ; points(2, i).*polynomes(i, :)];
end
 
interpolation = sum(lagrange);
 
x=linspace(xDebut,xFin);
p=polyval(interpolation,x);
 
figure
hold all
plot(x, p)
plot(abscisse, ordonnee)
scatter(points(1,:),points(2,:))