calcul d'intersection droite-surfaces paramétriques avec algorithme de Newton

Bonjour,
Je travaille sur un logiciel de lancer de rayon et je dois faire le rendu sur des surfaces paramétrées (type bezier).
Mon rayon est defini par deux plans :
a1x+b1y+c1z+d1 = 0
a2x+b2y+c2z+d2 = 0
Ma surface de bezier est defini parametriquement (en u et v) par
Bezier(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Pour trouver l'intersection entre le rayon et la surface, il faut donc résoudre le système suivant :
a1x(u,v)+b1y(u,v)+c1z(u,v)+d1 = 0
a2x(u,v)+b2y(u,v)+c2z(u,v)+d2 = 0

Pour résoudre ce problème j'utilise l'algorithme de Newton appliqué a
F(u,v)=(0,0)
où F(u,v)=(a1x(u,v)+b1y(u,v)+c1z(u,v)+d1 ,a2x(u,v)+b2y(u,v)+c2z(u,v)+d2)

Je calcule les dérivees partielles selon u et v; je calcule la matrice jacobienne et j'applique la formule de l'algorithme de Newton.

Ma question est la suivante :
Quelle condition faut-il pour que j'ai convergence car dans mon programme je dois donner une condition pour dire si le rayon intersecte oui ou non ma surface.

J'espere avoir ete assez précis,merci.

A part le theorème 1.2 de:
http://perso.univ-rennes1.fr/antoine...reg/newton.pdf
Je ne vois pas grand chose.
Mais comme l'auteur le reconnait ce résultat est difficilement 'praticable'.
Votre problème est celui de trouver un zéro d'un espace vectoriel normé complet (Banach) dans un autre ( précisément de R^2 dans R^2).
Si au lieu de Newton vous utilisez le théorème du point fixe par les itérations successives, conceptuellement plus simple mais peut être moins efficace, vous aurez des conditions suffisantes relativement applicables dans tous les bons traités d'analyse (par exemple Dieudonné).

ouane maure taiiiime :

http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/

sujet 5.05 et après....