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Il est intéressant de reprendre ce que l'on découvrait de la pandémie au cours de la première quinzaine de mars, alors que la maladie se répandait sans contrainte dans divers pays d'Europe: un doublement du nombre de cas de contamination sur 3 jours, et une période d'incubation de 15 jours.

Supposons la personne contaminante à taux constant entre le 5^me et le 15^me jour, délai au-delà duquel la transmission du virus cessera par hospitalisation ou confinement absolu – ce sont là bien sûr des hypothèses idéales et simplistes, mais qui permettent de comprendre ce qui se passe.
Le nombre de nouveaux cas apparaissant au lendemain du n^ième jour est alors proportionnel à ceux qui se sont préalablement déclarés, entre 5 et 15 jours plus tôt; cela se traduit par la relation fonctionnelle:

u_{n + 1} – u_n = K_cont(u_{n - 5} – u_{n - 15})

qui admet entre autres solutions une fonction exponentielle

u_k = N₀.e^mk .

Un doublement de l’effectif tous les 3 jours se traduit par la relation:

e^3m = 2 d’où: e^m = 2^1/3 ;

on obtient en injectant la solution dans la première équation:

N₀.e^{m(k + 1)} - N₀.e^mk = K_cont(N₀.e^{m(k - 5)} - N₀.e^{m(k - 15)})

ce qui donne par simplification: e^m – 1 = K_cont.e^-5m (1 – e^-10m);
on en tire la valeur de la constante de contamination:

K_cont = e^5m(e^m – 1)/(1 – e^-10m) = 2^5/3.(2^1/3 - 1)/(1 - 2^-10/3) = 0.916 ,

soit un peu moins d’un nouveau cas par jour et par personne contaminante.

Ce résultat paraît relativement faible par rapport au nombre de rencontres fortuites quotidiennes; chaque personne en aura cependant contaminé 9 autres à l’issue de la période de 10 jours, au cours de laquelle elle émet des germes infectieux: d’où l’emballement exponentiel de la contagion, qu’aucun pays ne peut supporter à moyen terme.

# La linéarité de la relation fonctionnelle:

u_{n + 1} – u_n = K_cont(u_{n - 5} – u_{n - 15})

a pour conséquence que toute combinaison linéaire

u_n = λ.v_n + μ.w_n

exprimée à partir de deux solutions particulières (v_n, w_n) est elle aussi solution de la même équation - cela se vérifie très facilement.

# On peut envisager comme autre solution particulière une fonction affine, de la forme:

u_k = a + b.k ;

l'injection de cette expression dans la relation fonctionnelle conduit à l'équation:

b.(10K_cont - 1) = 0 ,

et fait apparaître deux possibilités:
a) K_cont= 1/10 - les termes (a) et (b) dépendant alors des conditions initiales;
b) b = 0 , ce qui ramène la solution à une constante u_k = a , solution triviale dépourvue d'intérêt.

Ci-dessous le graphe (mis à jour le 27/04) des variations du nombre de cas cumulés (en rouge) et de la vitesse de contamination (en jaune); il confirme la présence d'oscillations dont la période est de l'ordre de 7 jours ... Les fugueurs du week-end réactiveraient-ils la contagion ?