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Pour évaluer l'effet du confinement sur l'évolution de l'épidémie, il faut envisager une constante de contamination (K_cont) dépendant du temps.
Nous nous limiterons au cas de la France et supposerons que la grandeur considérée:
a) présente jusqu'au 17 mars inclus une valeur fixe (K_ini) correspondant à l'expansion libre de la contagion,
b) prend dès le lendemain (le 18, date d'entrée en vigueur du confinement) une valeur plus faible (K₁), elle aussi constante.
On supposera de plus que le nombre de cas détectés dans la phase initiale d'expansion (0 < x < 18) suit une loi exponentielle de la forme:

Ncas = A*B^x ;

et retiendra les moyennes entières approchées résultant d'une régression semi-logarithmique sur les données officielles relatives aux 17 premiers jours de mars;
la tambouille numérique, incontournable mais dépourvue d'intérêt, a été déléguée à la calculatrice; on trouve ainsi, à partir de la relation

Ln(Ncas[x]) = a + b.x :
a = 4.766 949 355 1408 ; A = Exp(a) = 117.560 060 377 67 ;
b = 0.260 409 300 8936 ; B = Exp(b) = 1.297 461 029 966 ;
K = E(5b)(E(b) - 1)/(1 - E(-10b)) = 1.181 072 956 4867 ,

et pour la déclaration des constantes

Code :

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 CONST NtotJ = 60; Jlim = 17; Kini = 1.1810729564867; K1 = 0.0; // valeur modifiable
 TYPE Tab_E = ARRAY[1..NtotJ] OF Z_32;     // Z_32 = LongInt

 CONST LstIni: ARRAY[1..Jlim] OF Z_32 =
// mars 1      2      3      4      5      6      7      8      9     10
   (  153,   198,   257,   333,   432,   561,   728,   944,  1225,  1589,
     2062,  2675,  3471,  4504,  5844,  7582,  9837);

C'est à partir du 18me jour qu'intervient une forme généralisée de la relation fonctionnelle évoquée dans les précédents messages; l'augmentation observée du jour actuel par rapport à la veille du nombre de personnes contaminées est désormais donnée par la somme de 10 termes proportionnels au nombres de cas apparus 5 à 15 jours auparavant, soit:

N_k - N_{k - 1} = Σ_i=5¹⁵(Kcont(K1, k - i - 1)*(N_{k - i - 1} - N_{k - i - 2}) ;

La progression de l'épidémie à partir de la même séquence initiale (sur les 17 premiers jours) a été calculée et représentée sur 60 jours dans deux cas particuliers:
a) celui du confinement idéal et absolu, caractérisé par un taux de contamination nul (K1 = 0);
b) celui correspondant à une progression linéaire de l'épidémie, et une constante de contamination K1 = 1/10 (voir le billet précédent); chaque personne atteinte en contaminant en moyenne une autre sur toute sa période contagieuse.

Voici les graphiques correspondants
a) au confinement absolu:

remarquer que le pic de l'épidémie arrive 5 jours après le début du confinement, et que le nombre de cas est presque triplé sur cet intervalle; le caractère ravageur de l'épidémie est bien lié à la période d'incubation silencieuse, au cours de laquelle la personne a transmis la maladie;

b) à la progression quasi-linéaire: le graphe (rouge) des variations du nombre de cas se confond alors pratiquement avec une droite.