Discussion :

[humanite]

Bonjour,

j'ai une question de matlab à la limite avec les maths, concernant la méthode de Simpson. Pourquoi dans ce code, fait-on la distinction entre les cas n=1,n=2,n=3 ? Pourquoi a-ton cette expression dans le cas n=3 ?

Code :

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function I=simp_v(f,h);
n=length(f)-1; % Nombre d’intervalles
if n==1
    fprintf('Données à un seul intervalle'\n');
    return;
end
if n==2
    I=h/3*(f(1)+4*f(2)+f(3));
    return; % Revenir et continuer le calcul
end
if n==3
    I=(3/8)*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4));
    return;
end
I=0;
if 2*floor(n/2)~=n ; %Le nombre d’intervalle doit être pair
    I=3*h/8*(f(n-2)+3*f(n-1)+3*f(n)+f(n+1));
    m=n-3;
else
    m=n;
end
I=I+h/3*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+f(m+1));
if m>2
    I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m))
end

[FR119492]

Salut!

Pourquoi dans ce code, fait-on la distinction entre les cas n=1,n=2,n=3 ?

Si n=1, tu as 1 intervalle, donc 2 valeurs f1=f(x1) et f2=f(x2) avec x2=x1+h. En interpolant linéairement entre les points (x1,f1) et (x2,f2), tu appliques la méthode des trapèzes qui ne figure pas dans ton programme.

Si n=2, tu as 2 intervalles, donc 3 valeurs f1=f(x1), f2=f(x2) avec x2=x1+h et f3=f(x3) avec x3=x2+h. Dans ce cas, la méthode de Simpson consiste à interpoler par une parabole passant par les points (x1,f1), (x2,f2) et (x3,f3), ce qui nettement mieux que par deux segments de droites.

Si n=3, tu as 3 intervalles, donc 4 valeurs f1=f(x1), f2=f(x2) avec x2=x1+h, f3=f(x3) avec x3=x2+h et f4=f(x4) avec x4=x3+h. Si tu faisais comme pour n=2 entre les points (x1,f1), (x2,f2) et (x3,f3), il te resterait ensuite un seul intervalle entre les points (x3,f3) et (x4,f4) et tu serais obligé d'appliquer la méthode des trapèzes qui est nettement moins moins bonne. C'est pourquoi on interpole par une cubique passant par les points (x1,f1), (x2,f2), (x3,f3) et (x4,f4).

Jean-Marc Blanc

[humanite]

Bonsoir Monsieur, et d'abord, merci pour ces quelques éléments. S'il vous plaît, pourriez-vous encore m'aider ?

Pour n=1 et n=2, c'est compris.

Où puis-je trouver la formule pour le calcul de l'intégrale dans le cas n=3,
c'est-à-dire après avoir interpolé par une cubique.

Code :

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if n==3
    I=(3/8)*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4));
    return;
end

Serait-ce possible d'avoir quelques détails de calcul ? Car je ne vois pas d'où viennent le (3/8) et les facteurs 3 dans la parenthèse

Par ailleurs,

pourriez-vous me détailler car je suis vraiment perdu ce qui vient après :

Code :

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I=0;
if 2*floor(n/2)~=n; %Le nombre d'intervalle doit être pair
    I=3*h/8*(f(n-2)+3*f(n-1)+3*f(n)+f(n+1));
    m=n-3;
else
    m=n;
end
 
I=I+h/3*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+f(m+1));
 
if m>2
    I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m))
end

[FR119492]

Salut!

je ne vois pas d'où viennent le (3/8) et les facteurs 3 dans la parenthèse

Voir "Handbook of Mathematical Functions", de M. Abramowitz et I. A. Stegun, chapitre 25: "Numerical Interpolation, Differentiation and Integration", formules 25.4.5 et 25.4.13

Jean-Marc Blanc

[Ehouarn]

Bonjour,

Serait-ce possible d'avoir quelques détails de calcul ? Car je ne vois pas d'où viennent le (3/8) et les facteurs 3 dans la parenthèse

Tu peux également trouver des explications ici; l'idée de base pour connaitre les coefficients est toujours la même, on les déduit de façon à ce que l'intégration soit exacte pour un polynôme de degré le plus élevé possible.

Pour ce qui est des manipulations vers la fin du code que tu montres, il s'agit visiblement simplement de cumuler les intégrations calculées sur les sous-intervalles (paquets de trois points pour du Simpson "classique" et éventuellement un paquet de quatre si le nombre total d'intervalles est impair).

Bonne continuation.

[humanite]

Bonjour,

en fait, je souhaiterais si possible que l'on m'envoie un lien où je puisse trouver les démonstrations de ces formules en particulier celle avec (3/8) et pourquoi pas celle de la formule générale de Newton -Cotes et les démonstrations des cas particuliers : Newton-Cotes 3, Boole-Villarceau, Hardy, etc ...

Car par exemple, dans le livre vers lequel Jean-Marc Blanc m'a envoyé hier par exemple, il n'y pas les démonstrations des formules les plus importantes meme si il y a beaucoup de formules pour ingénieurs.

merci

[FR119492]

Salut!
Tu trouveras plus d'explications dans "Numerical Recipes".
Jean-Marc Blanc

[Ehouarn]

Bonjour,

Le détail des calculs pour la méthode des trapèzes et de Simpson "classique" sur 3 points est donnée là.
A partir de là, un papier et un crayon suffisent...

Bon calculs.