Discussion :

[freedom144]

Bonjour,

Je me retrouve face un problème :

Dans un de mes algos, je doit résoudre un system Ax=[0 0 0] avec A une matrice [4x3] et x un vecteur [4] non NULL.

       0.66  | 0.00 | 0.74
       0.33  | 0.57 | 0.74
 A =   -0.33 | 0.57 | 0.74
       -0.66 | 0.00 | 0.74

Je doit fixer x(0) à une valeur je choisi 1.0 le problème est que je trouve uniquement une solution x[1 0 0 -1] mais il faudrait que x(1) et x(2) ne soit pas nul.

Il y a t-il une solution ? je ne vois pas comment faire ?

Merci de vos réponse.

[pyros]

Salut,

Je ne comprend pas trop ton problème car pour moi tu il y a un problème de dimension.

Si Ax est bien le produit matrice/vecteur colonne, alors Ax=[0 0 0] n'a qu'une seul solution: le vecteur (colonne) nul [0 0 0], et x doit être un vecteur[3].

[freedom144]

x vecteur ligne A matrice 4x3 vecteur ligne
[x0 x1 x2 x3] * A[4x3] = [ 0 0 0 ]


x = A^1 * [ 0 0 0 ]


Je ne vois pas le problème ?

[ZnhaarX]

En effet tu as un problème de dimension.
Si tu dis que A[4,3] et que X[4], ta représentation est comme ceci:

A
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
A41 A42 A43

X
X11
X21
X31
X41

Or il y a bien un problème de dimension.
Essayes de faire A*X et tu verras que ça cloche.

x = A^1 * [ 0 0 0 ]

Je pense que tu as plutôt voulu dire A^(-1) (matrice inverse).
Quand bien même, vu que sa matrice n'est pas carrée, on ne peut pas l'inverser.

Quoiqu'il en soit, si tu pose ton système, ça doit te faire un système de trois équations à 4 inconnues. Donc dans le pire des cas, tu auras l'utilisation d'une variables en tant que paramètre.
Donc à l'arrache ça ferait:

0.66*x11 + 0.33*x12 - 0.33*x13 - 0.66*x14 = 0
0.57*x12 - 0.33*x13 = 0
0.74*x11 + 0.74*x12 - 0.74*x13 - 0.74*x14 = 0

Dis ce que tu trouves comme système final s'il te plait (je suis au taff pas le temps le faire).


Edit: Ok tu t'es mal exprimé sur tes notations alors. X[4,1] != X[1,4] hein =)

[pyros]

A^-1 sur une matrice rectangulaire, ça c'est un problème ^^
Et A*x n'est pas pareil que x*A (c'est pas commutatif le produit matrice/vecteur).

Enfin, rigoureusement, ton problème se formule comme ceci:

A = 
0.66 0.33 -0.33 -0.66
0.00 0.57  0.57  0.00
0.74 0.74  0.74  0.74

x = 
a
b
c
d

Ax = 
0
0
0

Ce qui donne comme résultat (la flème de détailler les calcules, c'est une résolution classique de système: Cramer, pivo, à la main, TI92, les méthodes ne manques pas...):
a = t, b = 2*t, c = -2*t, d = t avec t comme tu le souhaite

[ZnhaarX]

Heu pyros...

J'ai pas vérifié tes résultats, je te fais confiance.
Mais je vois pas comment tu peux résoudre ça avec la méthode de Cramer. Cette méthode utilise les déterminants, et je ne vois pas vraiment comment tu vas calculer le déterminant d'une matrice non carrée

[freedom144]

Merci à tous de vos réponses.

En faite le problème n'été pas dans l'inversion de la matrice non carré pour sa j'utilise la pseudo inverse (Ref :Numerical Recipes in C).

Mon problème se trouvé dans dans le fait que j'obtienne x=[1 0 0 -1], difficile à utiliser car la matrice A correspond à une matrice de placement de lampe dans un espace 3D<x,y,z>. Cette matrice me permet de calculer un champs de gradients sur une image en pondérant par x le valeur de pixel de 4 images hors avec x=[1 0 0 -1] il est impossible de calculer le champs de gradient car il me faut au minimum 3 valeur de pixel non nulles.

Le problème venait des valeurs de A qui sont les emplacement de 4 éclairage sur 6 mais en opposition cette combinaison est un cas particulier et ne peut être utilisable physiquement.

Dans les autre cas je trouve x[ nonNul nonNul nonNul nonNul] donc pas de problème. Ce cas particulier doit être écarté.

[pyros]

Mais je vois pas comment tu peux résoudre ça avec la méthode de Cramer. Cette méthode utilise les déterminants, et je ne vois pas vraiment comment tu vas calculer le déterminant d'une matrice non carrée

Oui, oui, tout à fait, je me suis un peu emballé