double intégrale par la méthode des trapèzes

**sergy01** · 18/06/2012, 19h11

Bonjour,
je reviens vers vous une autre fois en guise de chercher une solution a mon tt petit problème; pour calculer l'intégrale d'une fonction a une seul variable j'ai utiliser la commande 'trapz',
mon problème est le suivan0:t j'ai une fonction a deux variable et je veux faire son double intégrale en utilisant la méthode de trapez ,quelqu'un a une solution svp

**Gakusei** · 18/06/2012, 20h01

Bonjour,

Code :

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1
2
doc dblquad
doc integral2

Ce n'est pas la méthode par trapèze car en dimension 2 ça n'existe pas.

**sergy01** · 18/06/2012, 21h44

Mais non comme j'ai souligné je veux utiliser la méthode des trapèzes ,sous MATLAB pour une fonction à une seule variable je l'ai intégré comme suit :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

Q=trapz(T,x,f)

Maintenant je veux faire la double intégrale par la méthode des trapèzes aussi, comme il est connu elle est plus précise, surtout quand la fonction est un peu compliqué, merci

**Gakusei** · 18/06/2012, 22h23

Alors il suffit de chercher dans le forum/ et remplacer comme il faut par ta fonction (trapz)

Ensuite la méthode des trapèzes n'est pas forcément la plus précise ( cf. le fil précédent)

**sergy01** · 18/06/2012, 22h46

En fait je suis obligé de travailler avec la méthode des trapèzes puisque j'en ai utilisé en mono-varié, et je dois faire une extension en utilisant le même principe c'est à dire la méthode des trapèzes appliquée à une fonction à deux variables, une idée camarade ?

**Gakusei** · 18/06/2012, 23h29

Je propose sur un exemple:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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SampleX = 100
SampleY = 100
xmin=1
xmax=10
ymin=1
ymax=10
 
x=linspace(xmin, xmax, Samplex);
y=linspace(ymin, ymax, Sampley);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z= X^2 + Y^2
 
# Integre suivant x puis suivant y
Ix = trapz(x, Z);
I = trapz(y, Ix);

**sergy01** · 18/06/2012, 23h46

C'est tellement complexe que je vois un peu flou, bon il s'agit de faire le produit de convolution de deux fonctions, analytiquement parlant le produit de convolution a la forme suivante :
La fonction de distribution: f
La fonction de densité :F
produit de convolution = integrale (F(t).f(t-x))
en code MATLAB c'est :

Code :

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for i=1:n
    mu(i)=mu1*(a^(i-1));
    sigma(i)=sigma1*(a^(i-1));
    ft(i,:)=gampdf(T,mu(i),sigma(i));
end
FS(1,:)=normcdf(T,mu1,sigma1);
figure(10)
hold on
plot(T,FS(1,:),'r.-')
%------itéra : 02 --> n
for o=2:n
    for i=1:m
        for k=1:m
            if i-k>0
                ftt(k)=ft(o,i-k);
                yy(k)=FS(o-1,k)*ftt(k);
            else
                ftt(k)=0;
                yy(k)=FS(o-1,k)*ftt(k);
            end
        end
        FSt(i)=trapz(T,yy);
    end

le problème c'est encore complexe pour la fonction à deux variables générées par la commande mvncdf (loi normale à deux dimensions).

**FR119492** · 19/06/2012, 01h24

Salut!
Il faudrait d'abord bien comprendre ce qu'est la méthode des trapèzes.

A une dimension, l'intégrale de f(x) correspond à l'aire de la surface située au-dessous du graphe de f(x). Ta fonction f(x) est donnée sous la forme d'un tableau à deux lignes ou deux colonnes contenant l'une, les valeurs de x et l'autre les valeurs correspondantes de f(x):

Code :

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2
   0.0   0.2   0.4   0.6   0.8   1.0
     0     1     4     9    16    25

La méthode des trapèzes consiste en fait à remplacer le graphe par une ligne polygonale, c'est-à-dire à faire une interpolation linéaire.

A deux dimensions l'intégrale de f(x,y) correspond au volume situé au-dessous de la surface qui représente f(x,y). Ta fonction f(x,y) peut, selon les cas, être donnée de deux manières différentes, soit:

un tableau à 3 lignes ou 3 colonnes contenant respectivement les valeurs de x, celles de y et celles de f(x,y). Pour calculer l'intégrale, tu découpes la surface en mailles triangulaires; l'intégrale sur tout le domaine est la somme des volumes situés au-dessous de chaque maille.
un tableau contenant m valeurs de x, un autre contenant n valeurs de y et un tableau de dimensions m*n contenant les valeurs de f(x,y).

Alors, dans laquelle de ces deux situations te trouves-tu?

Jean-Marc Blanc

**sergy01** · 19/06/2012, 01h55

Je vous explique mon programme: j'ai une fonction de renouvellement M(t,u) avec t est le temps , et u est l'usage.
Je prends un exemple pour t=20 mois, et pour u=2000km ça me retourne M=2, c'est à dire 2 renouvellement, je pense bien évidement que je suis dans votre première proposition, où j'ai un tableau qui contient une ligne de temps, une colonne d'usage et ce que contient le tableau c'est le nombre de renouvellement soit 'M'

**sergy01** · 19/06/2012, 09h32

Dans ce cas je procède comme ça?

Code :

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2
Ix = trapz(x, Z);
I = trapz(y, Ix);

**FR119492** · 19/06/2012, 14h13

Salut!

j'ai un tableau qui contient une ligne de temps, une colonne d'usage et ce que contient le tableau c'est le nombre de renouvellement soit 'M'

C'est exactement la seconde proposition et non la première. Je n'ai peut-être pas été assez clair. Alors, j'explique autrement:

Dans la seconde proposition, pour chaque valeur de x, tu as la valeur de f(x,y) pour toutes les valeurs de y et vice versa. Dans le plan Oxy, les valeurs de f(x,y) sont donc connues sur tous les noeuds d'une grille à mailles rectangulaires.

En revanche, dans la première proposition, les valeurs connues de f(x,y) sont saupoudrées un peu n'importe où sur le plan Oxy.

Jean-Marc Blanc

**sergy01** · 19/06/2012, 15h16

bon entre autre j'ai un tableau où les entrées sont le temps et l'usage , et en fonction de ces entrées j'ai le nombre de renouvellement, donc le calcul d'intégrale double pour une fonction à deux variables en utilisant la méthode des trapèzes se fait comment ? Je retourne à la case départ !

**FR119492** · 19/06/2012, 16h58

Salut!

Je retourne à la case départ !

Si tu ne réponds pas à ma question, ça ne sert à rien. Alors, je te la pose autrement: Montre-nous ton tableau de données.
Jean-Marc Blanc

**sergy01** · 19/06/2012, 23h39

Envoyé par FR119492

Salut!

Si tu ne réponds pas à ma question, ça ne sert à rien. Alors, je te la pose autrement: Montre-nous ton tableau de données.
Jean-Marc Blanc

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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M =
 
         0         0         0         0         0         0         0
         0    0.9999    0.9999    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0    0.9941    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942
         0    0.7839    0.7839    0.7839    0.7839    0.7840    0.7840
         0    0.8395    0.8396    0.8396    0.8396    0.0000    0.0000
         0    0.8514    0.8515    0.8515    0.8515    0.0000    0.0000

**FR119492** · 19/06/2012, 23h59

Salut!
Alors, on y est presque.

Code :

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M =
 
         Y         Y         Y         Y         Y         Y         Y
         Y    0.9999    0.9999    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         Y    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         Y    0.9941    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942
         Y    0.7839    0.7839    0.7839    0.7839    0.7840    0.7840
         Y    0.8395    0.8396    0.8396    0.8396     XXXX      XXXX
         Y    0.8514    0.8515    0.8515    0.8515     XXXX      XXXX

J'ai encore deux petites questions concernant ton tableau:

Comment expliques-tu que les valeurs que j'ai remplacées par XXXX soient nulles?
Que représentent les valeurs 0 que j'ai remplacées par Y?

Jean-Marc Blanc

**sergy01** · 21/06/2012, 09h47

Envoyé par FR119492

Salut!
Alors, on y est presque.

Code :

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M =
 
         Y         Y         Y         Y         Y         Y         Y
         Y    0.9999    0.9999    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         Y    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         Y    0.9941    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942    0.9942
         Y    0.7839    0.7839    0.7839    0.7839    0.7840    0.7840
         Y    0.8395    0.8396    0.8396    0.8396     XXXX      XXXX
         Y    0.8514    0.8515    0.8515    0.8515     XXXX      XXXX

J'ai encore deux petites questions concernant ton tableau:

Comment expliques-tu que les valeurs que j'ai remplacées par XXXX soient nulles?
Que représentent les valeurs 0 que j'ai remplacées par Y?

Jean-Marc Blanc

voila j'ai corrigé mon programme!

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000
    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000    3.0000
    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000
    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000

**FR119492** · 21/06/2012, 13h46

Salut!
C'est de nouveau beaucoup moins clair! Alors, je vais essayer de reformuler ton problème. Tu me diras si j'ai bien compris.

Données du problème
Tu as un domaine rectangulaire (X1 <= x <= X2 et Y1 <= y <= Y2) dans lequel il y a une fonction f(x,y). Sur ce domaine est appliquée une grille définie par un tableau unidimensionnel contenant m valeurs de x et un autre contenant n valeurs de y.
Ta fonction t'est donnée sous la forme d'un tableau bidimensionnel de taille m*n contenant les valeurs de ta fonction sur tous les noeuds de la grille.

Solution recherchée
Une valeur approchée de l'intégrale de la fonction sur le domaine décrit ci-dessus.

Est-ce bien ça?

Jean-Marc Blanc

**sergy01** · 21/06/2012, 13h56

Envoyé par FR119492

Salut!
C'est de nouveau beaucoup moins clair! Alors, je vais essayer de reformuler ton problème. Tu me diras si j'ai bien compris.

Données du problème
Tu as un domaine rectangulaire (X1 <= x <= X2 et Y1 <= y <= Y2) dans lequel il y a une fonction f(x,y). Sur ce domaine est appliquée une grille définie par un tableau unidimensionnel contenant m valeurs de x et un autre contenant n valeurs de y.
Ta fonction t'est donnée sous la forme d'un tableau bidimensionnel de taille m*n contenant les valeurs de ta fonction sur tous les noeuds de la grille.

Solution recherchée
Une valeur approchée de l'intégrale de la fonction sur le domaine décrit ci-dessus.

parfait ce que je recherche

)
Est-ce bien ça?

Jean-Marc Blanc

**FR119492** · 21/06/2012, 15h04

Salut!
Alors, c'est tout simple (en Fortran, mais tu n'as qu'à traduire):

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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      Integrale=0.0
      Do i=2,m
        Do j=2,n
          Integrale=Integrale+(x(i)-x(i-1))(y(j)-y(j-1))*(f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i,j-1)+f(i,j))/4.0
        End Do
      End Do