Discussion :

[SkyZoThreaD]

Bonjour et merci de prendre le temps de me lire.
Je botte en touche sur un problème de calcul de physique Newtonienne et j'ai beau chercher, je ne trouve aucune solution sur le net
Voici le problème:

Je ne considère qu'une seule dimension d'un univers uniquement régi par la physique de notre cher Isaac. Le point 0 est le centre d'un objet massif (une planète par exemple). Cet objet est donc représenté par un segment de droite au milieu du quel se trouve le point 0 (oui nous n'avons qu'une dimension).
Maintenant, on jette à une vitesse donnée un objet de masse faible depuis la surface de l'objet massif. Ce dernier s’éloignera en perdant son énergie cinétique à cause de la gravité subie de l'objet massif. Et bien sûr, il en perdra de moins en moins au fur et à mesure qu'il s'éloignera du centre de gravité.

Avec peu de connaissances et un ordinateur, on peut calculer sa trajectoire par itérations (faire une boucle qui calcule le déplacement de l'objet, sa perte d'énergie puis passer à la position suivante et ainsi de suite).
Mais est-il possible d'effectuer ce calcul sans itérations? Je veux dire: en connaissant la masse des objets, la position de départ, la vitesse initiale et le temps depuis lequel l'objet a été lancé, peut-on donner la position actuelle de l'objet léger par une simple équation? Et bien-sur si oui, quelle est cette équation.

D'avance merci.

[dourouc05]

A priori, oui, c'est possible. Maintenant, le mieux, c'est quand même d'écrire l'équation du mouvement (à base de , ou d'un autre formalisme), puis tu verras s'il est possible de résoudre cette équation différentielle par des méthodes analytiques.

[SkyZoThreaD]

Ok merci dourouc05, déjà je peux continuer à chercher; il doit y avoir une solution.
Du coup il faut que je rattrape les années manquées dans les cours de ma jeunesse mouvementée :p
Si j'ai bien compris il faut trouver l'équation différentielle liant les deux phénomènes.
Au boulot ! Merci encore.

[SkyZoThreaD]

C'est bon j'abandonne. Il s'agirait d'une fonction dérivée de la chute des corps très compliquée. Et à mon age on ne rattrape pas si facilement...
Je vais devoir faire de l’approximatif, ce qui ne m'enchante guère mais tant pis. Merci quand même à dourouc05 d'avoir répondu.

[Flodelarab]

Bonjour

Non, non, non. Tu n'abandonnes pas. C'est très simple. Tous les lycéens scientifiques ont eu sur leur calculatrice un jeu de basket dont le principe est justement la chute d'un corps soumis à son seul poids et auquel on ne donne que l'impulsion initiale. Tu vas réussir.

En intégrant l'accélération, tu auras la vitesse.
Et en intégrant la vitesse, tu auras la position.
Si tu prends un nombre comme accélération, tu auras au maximum une équation du second degré. y = ax² + bx + c

La dimension qui t'intéresse est la seule intéressante. Car sur terre, dans le sens horizontal, il n'y a pas de force, donc le déplacement est constant, conformément au principe d'inertie.

Comme l'a dit Dourouc, la somme des forces égale la masse fois l'accélération.
La force est le seul poids. Dont la norme égale la masse fois la constante de gravité g. (environ 9.8 sur terre)
m a = m g
donc a = g.

Youpi! On retombe sur le cas expliqué où l'accélération est un nombre (9,8)

Tu vas finir ?

[SkyZoThreaD]

Merci pour les encouragements
Mais le souci n'est pas de trouver les vecteurs de forces mais bien leur relation par rapport au temps.
La force de gravité (m1+m2/d²) change en permanence et le but est de pouvoir prédire la position de l'objet avec pour donnée (entre autres) le temps écoulé depuis que l'on a appliqué l'impulsion.
J'ai parlé à un professeur de maths de lycée qui m'a parlé de fonction dérivée par rapport au temps. Et
m'a dit que c'était assez coton même pour lui (en tant que "gros nul", moi, je le crois)
Maintenant si tu peux m'apporter des pistes je serais ravi de m'y remettre

[Flodelarab]

Effectivement, j'ai zappé le fait que l'accélération soit variable.
Cependant, voyons si c'est dur.

L'accélération est de la forme 1/x². ( Au fait, les masses se multiplient. Pas d'addition, contrairement à ce que tu as écris.)
Or la dérivée de 1/x est de la forme -1/x². Donc l'intégration (opération inverse) doit être faisable.
et la dérivée de ln (logarithme népérien, le logarithme classique de base) est en 1/x
Donc ta position en fonction du temps doit être un logarithme, peut-être.
Reste à trouver la forme exacte, la vitesse initiale et la position initiale.

[SkyZoThreaD]

Tu vois, c'est pour ça que j'ai laché prise.. j'ai aucunes bases (*utain manquez pas l'école les jeunes c'est trop dur après)

Donc ta position en fonction du temps doit être un logarithme, peut-être.

Oui, en quelque sorte. En fait la courbe que ça donne est une droite de moins en moins courbée exponentiellement.
Du coup une chose est certaine, c'est que dans la fonction finale on devrait trouver une racine carré, cubique ou quelque-chose-ique
Le truc que je sais pas faire c'est ça justement : calculer ce logarithme complexe.

[Flodelarab]

Bon. Je dis des bêtises puisque je mélange les fonctions du temps et les fonctions de la position.

On obtient une équation différentielle. Faudrait y réfléchir. Je n'ai pas le temps maintenant de donner plus.

[dourouc05]

C'est bon j'abandonne.

Mets tes résultats, tes calculs préliminaires ici (peut-être même la manière d'y arriver). On pourra y regarder de plus près . D'ailleurs, j'ai du mal à voir comment tu pourrais comprendre les techniques de résolution numérique si tu abandonnes avant d'avoir essayé (pour comprendre l'erreur, qui dépend de certains paramètres à choisir, principalement la discrétisation temporelle, il faut comparer les solutions numériques et analytiques).

[PierroVsf]

Bonjour,

Voilà la forme de la solution:

Déjà posons le problème:

m1*x1'' = - m1*m2*G/(x1-x2)²
m2*x2'' = + m1*m2*G/(x1-x2)²

En posant r = (x1-x2) et M= m1+ m2
On a l'équation:

-M*G/r² = r''

puis on multiplie par r'

-M*G*r'/r² = r'' * r'

On intègre:

M*G*(1/r) = 1/2*(r')² + K

Avec K la constante d'integration, en fait on réalise à peut près la même opération que le calcul de l'énergie totale:
E = 1/2*(m1*m2)/(m1+m2)*(r')² - m1*m2*G/r

Finament on a une équadiff de la forme:

r' = sqrt(a/r+b)

Maintenant si b=0 une solution de la forme r= k*t^(2/3) convient

Sinon on peut essayer d'intégrer le problème autrement:
v=dr/dt
donc dt=dr/v
donc t = integrale(dr/v)

il nous faut donc intégrer 1/sqrt(a/r+b)
Ce qui donne t=f(r)
Puis pour avoir la solution il suffit d'inverser f.



J'aime les math!

[SkyZoThreaD]

Cool ! Du coup c'est vraiment résolu maintenant. C'est bien, car si un googleur tombe ici et est en mesure de comprendre, il aura la solution.
Pour ma part, c'est bien plus compliqué et il est hors de question de même tenter de mettre en application un phénomène que je ne comprend pas.
Depuis l'enterrement de ce thread, j'essaye de rattraper le niveau en suivant le programme scolaire mais j'en suis encore au lycée
Bref, merci enormément à toi Pierro pour le temps que tu as passé à me répondre (même si c'est un plaisir à priori). Ta réponse est sur mon stockage perso en pdf et attendra que je puisse la comprendre.

La morale de cette histoire : avant de poser une question, il est préférable de s'assurer qu'on est capable de comprendre l'éventuelle réponse.

Encore merci !!