Discussion :

[Ja Rasta]

Bonjour à tous.

On me donne le problème suivant et c'est la 3^ème question que je ne parviens pas à résoudre :

Soient
D₁,D₂ et D₃ les droites d'equations y=a_ix+a_i³ pour i € {1;2;3} et pour a₁;a₂;a₃ € R deux a deux distincts.

1°)Soit M₁₂ = (x₁₂;y₁₂) le point d'intersection de D₁ et D₂.
Montrez que : x₁₂= -a₁²-a₁a₂ -a₂² //J'ai réussi la démonstration

2°)Soit M₁₃ = (x₁₂;y₁₂) le point d'intersection de D₁ et D₃.
Montrez que : x₁₃= -a₁²-a₁a₃ -a₃² //Ici aussi j'ai réussi la démonstration

3°)En déduire que si M₁₂ = M₁₃ alors a₁ + a₂ + a₃ = 0 et réciproquement si a₁ + a₂ + a₃ = 0 alors M₁₂ = M₁₃//c'est ici que je suis bloqué

Pour moi si M₁₂ = M₁₃ alors les 2 points sont confondus et donc on a : x₁₂ = x₁₃ et y₁₂ = y₁₃ donc j'ai pris x₁₂ = x₁₃
et en remplaçant x₁₂ et x₁₃ par leur valeur j'obtiens une équetion de la forme : -a₁a₂ - a₂² +a₁a₃ + a₃² = 0 si c'est ainsi qu'il faut procéder,alors comment je peux déduire.
Si quelqu'un a une idée de comment faire merci de me sauver.

[tbc92]

Oui tu es bien parti.
Dans ta derière expression, tu as a3² - a2² , c'est à dire une identité remarquable connue. Ceci devrait t'aider à continuer.

[Ja Rasta]

Merci pour votre réponse mais je vois pas en quoi ça peut me servir.
Pouvez-vous m'expliquer s'il vous plaît?

[François DORIN]

Bonjour,

Petite aide (qui reprend les propos de tbc92) :




Aller plus loin reviens quasiment à te donner la réponse

[Ja Rasta]

Bonjour François et merci pour ta réponse.
J'ai essayé cette possibilité mais j'y arrive toujours pas.
Si vous voyez la difficulté veuillez m'aider à la voir.

Merci d'avance!!!

[François DORIN]

Je donne une ligne supplémentaire pour te mettre sur la piste :




Il ne reste qu'à factoriser et tu as quasiment ton résultat

[Ja Rasta]

Il ne reste qu'à factoriser et tu as quasiment ton résultat

Mais j'étais très bête je t'assure.Je suis arrivé jusqu'à ce résultat mais je n'ai pas eu l'idée de mettre a₃ - a₂ en facteur donc ainsi j'aurai un produit de 2 facteurs qui sera = 0 et pour que ça le soit il faut que un des 2 le soit j'ai saisi mais comment je peux en déduire la réciproque c'est à dire si a₁ + a₂ + a₃ = 0 alors M₁₂ = M₁₃.

Merci d'avance.

[François DORIN]

Mais j'étais très bête je t'assure.Je suis arrivé jusqu'à ce résultat mais je n'ai pas eu l'idée de mettre a₃ - a₂ en facteur donc ainsi j'aurai un produit de 2 facteurs qui sera = 0 et pour que ça le soit il faut que un des 2 le soit j'ai saisi

C'est ça. Et comme, par hypothèse, les a_i sont deux à deux distinct, est différent de 0. Il ne reste donc que la somme.

mais comment je peux en déduire la réciproque c'est à dire si a₁ + a₂ + a₃ = 0 alors M₁₂ = M₁₃.

Le plus simple est sans doute de travailler par équivalence par rapport au postulat de départ. Ainsi, tu montres, en une seule fois, les deux sens.

Maintenant, s'il faut réellement utiliser une "démonstration différente", alors tu as une équation liant a1, a2 et a3. Il ne te reste qu'à exprimer x13 avec a1 et a2 et à constater que c'est égal à x12

[Ja Rasta]

Merci monsieur.