Discussion :

[antonysansh]

Bonjour tout le monde,

J'aimerais calculer une probabilité mais je ne sais pas quelle loi utiliser.

Le problème :
J'ai une enveloppe avec 18 papiers, 17 sont perdants et 1 seul est gagnant.
Je tire un papier, s'il est perdant je tire un autre papier (sans remise) et ce jusqu'à tirer le papier gagnant.

Je cherche à calculer P(X=k) qui correspond au fait que c'est le k-eme papier tiré qui est le gagnant.

Solution 1 :
Intuitivement, j'ai utilisé le raisonnement suivant :

• le tirage 1 est perdant (17/18)
• le tirage 2 est perdant (16/17)
• ...
• le tirage k-1 est perdant (18-k+1/18-k+2)
• le tirage k est gagnant (1/18-k+1)

En multipliant toutes les probabilités qui sont indépendantes (du moins je crois), j'obtient 1/18.
Ce résultat ne dépend pas de k et je trouve ça plutôt étonnant.

Solution 2 :
Ça ressemble a une loi Hypergéométrique de paramètres N, m et n
Avec N = 18, m = 1 et n = k et on cherche P(X=1)
Cette fois après simplification je trouve k/18.

Ce résultat est forcement faux. Pour k = 18 on a P(X=1) = 1.
Le problème vient surement du fait qu'on s'intéresse à 1 succès mais peu important sont rang car il s'agit d'un tirage simultané de k papier(s). En les tirants tous, j'ai forcement tiré le papier gagnant mais dans mon cas il doit être tiré en dernier.


Merci d'avoir pris le temps de me lire et merci d'avance pour ceux qui pourrons confirmer ou infirmer ma solution 1.

[halaster08]

Je cherche à calculer P(X=k) qui correspond au fait que c'est le k-eme papier tiré qui est le gagnant.
Ce résultat ne dépend pas de k et je trouve ça plutôt étonnant.

Pas moi, au final ton expérience revient a un lancé de dé a 18 faces, la valeur du dé représentant le numéro de l'enveloppe gagnante.

[antonysansh]

Finalement oui,

Il suffit juste de voir quand va être tiré le bon papier. donc 1/18

Merci pour cette confirmation.

[Stellar7]

J'ai un gros doute : tirage sans remise.
Donc la première fois, tu as une chance sur 18. Mais après, ton dé perd une face à chaque tirage (sans remise). Et donc, tu as 1/18, puis 1/17, puis 1/16 etc.

[antonysansh]

oui Stellar7 d'où ma solution 1 dont la simplification arrive a 1/18.

Exemple :
je gagne au troisième tirage :
Tirage 1 = échec = 17/18
Tirage 2 = échec = 16/17
Tirage 3 = succès = 1/16
P(X=3) = 17/18 * 16/17 * 1/16 = 1/18

Mais finalement comme je retire après chaque échec, je cherche juste le premier succès.
Qui pour un numéro de tirage donné a une proba de 1/18 d'être un succès.

J'ai simulé sur 10.000 tirages des 18 papiers et je tombe bien sur une loi uniforme U([1;18]) avec P(X=k) = 1/18 pour tout K entier naturel enter 1 et 18.