Discussion :

[olivieram]

Bonjour,
j'aimerais connaitre et retrouver la formule de x² par récurrence;
du style u(n+1)=f(un)

Et à terme, une formule pour toutes les puissances de x.
merci

[poppels]

J'ai pas très bien compris... Tu veux une formule par récurrence qui donne :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

u(n) = n²

, c'est ça???

Tu ne veux alors retrouver x² que pour les entiers, j'imagine...

Dans ta formule de récurrence, tu ne veux pas écrire n du tout ou alors
on peux avoir du n linéaire? Parce que si on peut alors voilà ta
formule :
on sait que :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(n+1)² = n² + 2n + 1

Donc :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

u(n+1) = u(n) + 2*n + 1

A mon avis c'est pas ça que tu veux, mais qui sait???

Bon courage!

[olivieram]

A mon avis c'est pas ça que tu veux, mais qui sait???

si si c'est ce que je veux
à une exception près, sans le '2n + 1'

je crois me souvenir qu'il faut soustraire les u(n+1) pour enlever le n.

[poppels]

Ok...

Alors :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

(n+1)² + (n-1)² = n²+2n+1  +  n²-2n+1

Ou encore :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

u(n+1)+u(n-1) = 2*u(n)+2

Pour conclure (mais c'est une récurrence forte, c'est-à-dire on remonte de 2 crans) :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

u(n+1) = 2* u(n) + 2 - u(n-1)

Je fais quand même un petit test sous excel avant de poster...............
......................................................................................................
.......................................................................................................
........................................................................................................
................

OK Ca marche... (mais j'en étais sur, hein!!!)

Salut!

[olivieram]

u(n+1) = 2* u(n) + 2 - u(n-1)

Super !
et comment faire pour exprimer les relations de récurrences pour les puissances de 3,4,5,.... ?

[poppels]

Houla!
C'est sans doute un peu plus compliqué

Il faudrait faire des calculs... je ne m'en sens pas tellement ce soir...

Mais si j'y pense, peut-être c w-e...

A bientôt

Ceci dit, maintenant que tu as pour les puissances de 2, ça te donne déjà une bonne idée...

Bon courage

[poppels]

Je peux juste te donner une piste supplémentaire :

(Voir binôme de Newton) :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 
(n+1)^0 = 1
 
(n+1)^1 = n+1
 
(n+1)² = n²+2n+1
 
(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n +1
 
(n+1)^4 = n^4 + 4n³ + 6n² + 4n + 1
 
...

Les coefficients des binomes sont les suivants :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
 
1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1
1  5  10 10 5 1
...

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

Pour les trouver, c'est très facile : la somme des deux du dessus donne celui d'en-dessous

Ce sont les coefficients binomiaux :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

Cmp  =   m!  / [  p!  * ( m-p )! ]

(m est en indice et p en exposant)
le symbole ! représente la factorielle :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

  n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * (n-1) * n

Bon courage...

[olivieram]

Voici mes résultats de recherche:

f(x) = x --------------------- f(x+1) = x+1
f(x) = x² -------------------- f(x+1) = x²+2x+1
f(x) = x^3 ------------------ f(x+1) = x^3 + 3x²+3x+1
f(x) = x^4 ------------------ f(x+1) = x^4 + 4x^3 + 6x² + 4x + 1

En remplacant les puissances de x par UN(x) et x par n j'obtiens:

U1(n+1) = U1(n) + 1
U2(n+1) = U2(n) + 2U1(n) + 1
U3(n+1) = U3(n) + 3U2(nà + 3U(n) + 1
U4(n+1) = U4(n) + 4U3(n) + 6U2(n) + 4U(n) + 1

ce qui donne pour U2(n+2)
U2(n+2) = U2(n+1) + 2U1(n+1) + 1 = 2U2(n+1) - U2(n) + 2

pour U3(n+3)
U3(n+3) = 3U3(n+2) - 3U3(n+1) + U3(n) + 6

pour U4(n+7)
U4(n+7) = U4(n+6) + ...

donc il faut 6 points pour calculer x^4, c'est à dire le double que pour calculer x^3...soit avec x^20, 2^20 points...aie aie

cependant, en calculant tout ça j'ai remarqué que:

pour la puissance de 1: U(n+1) - U(n) + C soit les coefficients [ 1 -1 ]
pour la puissance 2: U(n+2) - 2U(n+1) + U(n) + C [ 1 -2 1 ]
pour la puissance 3: [ 1 -3 3 1 ]
et pour la puissance 4: [ 1 4 -5 -2 5 -4 1 ]

donc aux signes près la moitié des coefficients est suffisant. donc la moitié des points également.

cette propriété permet-elle de calculer x^20 seulement avec 20 points ?