Discussion :

[andry501]

Bonjour,
Est-ce quelqu'un peut me dire comment resoudre l'équation quadratique suivante :
(2a-3b)²+(4a-7b)²=4.
Merci d'avance

[Flodelarab]

Bonjour

Que cherches-tu ?

X²+Y²=2² est vérifié par les points de coordonnées (X,Y) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 2.
On pose donc X=2a-3b et y=4a-7b.
On en déduit b=2X-Y et a=(7X+3Y)/2

[wiwaxia]

Bonjour,

... Est-ce quelqu'un peut me dire comment resoudre l'équation quadratique suivante :
(2a-3b)²+(4a-7b)²=4 ...

Lorsque deux variables vérifient une seule équation, cela se traduit par un degré de liberté ... Tu seras conduit par conséquent à exprimer l'une en fonction de l'autre, et à écrire b = F(a) ou a = G(b)
- à moins de passer à deux expressions paramétriques.

Il faut résoudre l'équation P(a, b) = 4
dans laquelle le polynôme P(a, b) admet pour développement:
P(a, b) = 20a² - 68ab + 58b²
ce qui donne après simplification:
10a² - 34ab + 29b² - 2 = 0 .

On reconnaît l'équation cartésienne d'une ellipse passant par les points de coordonnes:

(±1/5^1/2, 0) , (0, ±(2/29)^1/2) .

Cela n'apparaît-il pas en relation avec le contexte de ton problème ?

[Flodelarab]

[andry501]

Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses mais l'equation que je donne est un exemple mais ce que je voulais avoir c'est "une méthode numérique" pour résoudre une équation quadratique de la forme :
(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w².
merci d'avance

[tbc92]

Il doit y avoir des méthodes 'géométriques', puisqu'on voit une sphère dans ton équation ... mais faisons simple.
La forme finale sera une éllipse.
Tu développes tous les termes, tu arrives à une expression de la forme : uy²+vy+w = 0
Dans laquelle u, v et w dépendent de x.

C'est une équation du 2nd degré, d'inconnue y ; on calcule Delta. Et selon les valeurs de x, Delta sera négatif, nul ou positif. Et donc selon les valeurs de x, on aura 0, 1 ou 2 valeurs pour y. Je disais au début que la forme finale serait une ellipse. On visualise nos 2 x extrèmes, les 2 valeurs de x pour lesquelles l'ellipse n'a qu'un point. Et entre ces 2 valeurs extrèmes, pour chaque x, on a 2 y.

Le calcul de Delta te donne une autre équation du 2nd degré, dont l'inconnue est maintenant x. Tu peux trouver les 2 valeurs de x pour lesquelles notre Delta vaut 0 . Et donc les 2 points 'extrèmes de l'ellipse'. Puis, si tu veux dessiner l'ellipse, tu fais une boucle entre ces 2 valeurs extremes de x. Et chaque pas de cette boucle te donnera un point sur l'arc supérieur de l'ellipse, et un point sur l'arc inférieur de l'ellipse.

Il y a probablement des solutions plus élégantes, plus géométriques. Et je suis impatient de lire des contributions dans cette direction.

[Flodelarab]

mais ce que je voulais avoir c'est "une méthode numérique"

Non mais je rêve. . On lui donne l'expression de a et b et il est pas content.
Si tu cherches un curseur, le conseil est de prendre l'équation paramétrique du cercle. Ainsi, pour tout paramètre t, tu auras un couple (X,Y), et ainsi un couple solution (a,b).
Mais on peut difficilement faire mieux.
Le dessin est pour montrer J de coordonnées (a,b), image d'un point B sur le cercle connu.

(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w².

Cette forme est ridicule: elle n'est pas canonique. Tu peux fondre l'un des 3 carrés dans les deux autres et te ramener à une conique classique. Et tu referas ce qui a été fait pour l'équation du premier message.

[wiwaxia]

Encore une fois, envisager de
résoudre l'équation quadratique suivante :

(2a-3b)²+(4a-7b)²=4.

c'est vouloir déterminer les valeurs hypothétiques des deux inconnues (a, b) à partir d'une équation unique, ce qui n'est pas possible: il reste encore un degré de liberté, ou si l'on veut une indétermination.

Et chercher "une méthode numérique" pour résoudre une équation quadratique de la forme :

(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w²

ne fait qu'amplifier le problème en envisageant (je suppose) de se placer en un point donné de coordonnées (X, Y) - quand au terme (w), on ne sait pas d'où il vient ...
Il y a désormais 6 inconnues donc 5 indéterminations (!), et un éventuel paramétrage fait maintenant appel aux coordonnées sphériques ...

La même question se pose donc à nouveau: quel est le problème à l'origine de l'équation en cause ?
Cela permettrait peut-être de débloquer la situation, et d'éviter des diatribes inutiles.

[WhiteCrow]

Encore une fois, envisager de
résoudre l'équation quadratique suivante :

(2a-3b)²+(4a-7b)²=4.

c'est vouloir déterminer les valeurs hypothétiques des deux inconnues (a, b) à partir d'une équation unique, ce qui n'est pas possible: il reste encore un degré de liberté, ou si l'on veut une indétermination.

Alors oui et non … ça c'est le réflexe de base mais tout dépend du contexte (qui ici n'a pas du tout été donné). Par exemple une équation diophantienne comme n(n+1)(2n+1)-6m²=0 possède des solutions bien définies (m,n) ∈ { (0,0), (1,1), (70,24) }.

[...]
La même question se pose donc à nouveau: quel est le problème à l'origine de l'équation en cause ?
Cela permettrait peut-être de débloquer la situation, et d'éviter des diatribes inutiles.

Exactement. un vrai sac de nœuds ou plutôt un bel exemple de problème XY.

[tbc92]

Je pense que vous grossissez le trait.
Le premier message, puis la généralisation, c'est assez clair qu'il y a 2 inconnues x et y. Et pas 5 inconnues.
Eventuellement, comme les coefficients sont des entiers dans l'exemple, on peut imaginer qu'on cherche une solution avec des nombres entiers. Bof. Je n'y crois pas du tout.

Par contre, il reste effectivement une ambiguité.
L'expression 'méthode numérique' dans le 2nd message me fait penser qu'il veut tracer le dessin de l'ellipse, sans forcément avoir l'équation complète. Le premier message fait plus penser à une demande de relation y=f(x) ...
Mais en réalité, je pense que Andry501 n'a pas complètement compris qu'il y a une infinité de solutions, et qu'il veut une méthode pour trouver LE couple (x,y) solution de cette équation. MAis ça, c'est impossible, parce qu'il y a (en général) une infinité de solutions, tous les points d'une ellipse.

[andry501]

merci pour vos réactions. Le vrai problème est le suivant :
Je doit calculer la position des 3 points dans l'espace de la forme P_i=^t(c_iKp_i,1) en coordonnées homogène avec i varie de 1 à 3. J'ai aussi la distance entre ces 3 points données par la formule suivante : dist(P_i,P_j)=d_ij avec i,j varient de 1 à 3.
En posant kp_i=^t(X_i,Y_i,Z_i) et en élevant au carré la distance, on a :
(X_ic_i-X_jc_j)²+(Y_ic_i-Y_jc_j)²+(Z_ic_i-Z_jc_j)²=d²_ij avec i,j varient de 1 à 3. Les inconnues sont c_i, c_j c'est-à dire c₁, c₂,c₃. Je sais qu'il y a plusieurs solutions mais ce qui m’intéresse, ce sont les solutions réelles (ici 8 au max pour le triplet (c₁, c₂,c₃). Si je trouve ces solutions, j'ai les positions de ces 3 points (il y a d'autres critères à vérifier pour avoir la solution exacte).

[tbc92]

Finalement je me trompais. Je pensais que le problème était clairement défini, et ce dernier message vient démolir tout ce que j'imaginais.
Je ne comprends plus rien à la discussion.

[wiwaxia]

... Je doit calculer la position des 3 points dans l'espace de la forme P_i=^t(c_iKp_i,1) en coordonnées homogène avec i varie de 1 à 3. J'ai aussi la distance entre ces 3 points données par la formule suivante : dist(P_i,P_j)=d_ij avec i,j varient de 1 à 3.
En posant kp_i=^t(X_i,Y_i,Z_i) et en élevant au carré la distance, on a :
(X_ic_i-X_jc_j)²+(Y_ic_i-Y_jc_j)²+(Z_ic_i-Z_jc_j)²=d²_ij avec i,j varient de 1 à 3. Les inconnues sont c_i, c_j c'est-à dire c₁, c₂,c₃. Je sais qu'il y a plusieurs solutions mais ce qui m’intéresse, ce sont les solutions réelles (ici 8 au max pour le triplet (c₁, c₂,c₃). Si je trouve ces solutions, j'ai les positions de ces 3 points (il y a d'autres critères à vérifier pour avoir la solution exacte).

En posant kp_i=^t(X_i,Y_i,Z_i)

Il interviendrait donc la matrice colonne ^t(X_i,Y_i,Z_i) transposée de la matrice ligne (X_i,Y_i,Z_i) ?

3 points dans l'espace de la forme P_i=^t(c_iKp_i,1)

Encore une matrice, probablement ... mais quelles sont ses dimensions ? À quoi correspondent ses éléments ? C'est incompréhensible.

Ne serait-il pas plus simple de livrer l'intégralité de l'énoncé ?

[andry501]

K ici c'est une matrice de 3*3, p_i=(x_i,y_i,1) : toujours des coordonnées homogènes et c_i sont des scalaires

[wiwaxia]

K ici c'est une matrice de 3*3, p_i=(x_i,y_i,1) : toujours des coordonnées homogènes et c_i sont des scalaires

Donc si j'ai compris quelque chose, p_i représenterait la i^ième ligne de la matrice (K) - ou la i^ième colonne, on n'en est pas à ce détail près ...

Mais pourquoi a-t-on p_i=(x_i, y_i, 1) et non pas p_i=(x_i, y_i, z_i) ? Et qu'entends-tu par coordonnées homogènes ?

Les coefficients (c_i) sont-ils prédéfinis ?

Et cela ne colle guère avec les informations précédentes:
En posant kp_i=^t(X_i,Y_i,Z_i)
3 points dans l'espace de la forme P_i=^t(c_iKp_i,1)

C'est pas évident, les mathématiques divinatoires ...

[WhiteCrow]

[...]
C'est pas évident, les mathématiques divinatoires ...

👍
Les coordonnées homogènes.


@andry501
Comme il y a trois coordonnées, nous travaillons donc dans un plan.
Si je comprends bien on te donne 3 points dont il faut déterminer les coordonnées. Les contraintes que l'on te donne sont :

• les distances entre les points
• et quelque chose d'autre avec une matrice ? les abscisses de tes points ont une contrainte supplémentaire ? je ne comprends pas trop ce que tu veux dire

Ce serait tellement plus simple de nous donner l'énoncé …

[wiwaxia]

Étant donnés 3 vecteurs p_i = OA_i linéairement indépendants, dont la 3^me composante (z_i) est rapportée à l'unité, et 3 distances d_ij (1 ≤ i < j ≤ 3),
situer 3 points (B_i) sur les droites orientées correspondantes de telle sorte qu'ils soient séparés par les distances B_iB_j = d_ij .

Cela revient à trouver 3 coefficients (c_i) vérifiant OB_i = c_i.OA_i .

PS: Ce n'est donc pas une équation quadratique, mais trois qu'il faut résoudre relativement aux inconnues (c₁, c₂ et c₃):

(c_i.x_i - c_j.x_j)² + (c_i.y_i - c_j.y_j)² + (c_i - c_j)² = d_ij² pour (i, j) = (1, 2), (2,3) et (1, 3) .

[wiwaxia]

En faisant intervenir le polynôme

P_ij(c_i, c_j) = (c_i.x_i - c_j.x_j)² + (c_i.y_i - c_j.y_j)² + (c_i - c_j)² ,

on peut envisager de repérer le minimum nul de la fonction:

F(c₁, c₂, c₃) = (P₁₂(c₁, c₂) - d₁₂²)² + (P₂₃(c₂, c₃) - d₂₃²)² + (P₁₃(c₁, c₃) - d₁₃²)² ,

en partant de valeurs initiales arbitraires.

L'algorithme, très simple, consiste à comparer à la valeur actuelle de la fonction V₀ = F(c₁, c₂, c₃) celles correspondant aux six triplets voisins:

(c₁ ± h, c₂, c₃) , (c₁, c₂ ± h, c₃) , (c₁, c₂, c₃ ± h) .

Si la plus faible de ces nouvelles valeurs est inférieure à la valeur initiale

- donc si l'on a: Min(V₁ ... V₆) < V₀) ,

alors le triplet correspondant remplace le précédent; sinon le pas est divisé par 10 .

Le procédé, bien qu'élémentaire, permet la recherche d'extremum dans un domaine de dimension quelconque.

[wiwaxia]

Les solutions sont associées par paires de valeurs opposées (c₁ , c₂ , c₃) et (-c₁ , -c₂ , -c₃) parce qu'à tout triangle (B₁B₂B₃) correspond son symétrique (B'₁B'₂B'₃) par rapport au centre (O), situé dans un plan pararallèle à celui du précédent, et présentant des arêtes de même longueur.
Les déterminants associés aux tétraèdres (OB₁B₂B₃), (OB'₁B'₂B'₃) sont de signes opposés.

L'une et l'autre solution se déduisent de valeurs initiales opposées:

(c₁° , c₂° , c₃°) et (-c₁° , -c₂° , -c₃°):

[wiwaxia]

À titre informatif, le programme source conduisant à la résolution du problème évoqué.

Code Pascal :

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 PROGRAM XXX;
 
 USES Crt, E_Texte, U_Math;
 
 TYPE Ve3D = RECORD  x, y, z: Reel  END;
 
 CONST D12 = 5.0;         D23 = 8.0;         D13 = 11.0;
       D2_12 = D12 * D12; D2_23 = D23 * D23; D2_13 = D13 * D13;
       W1: Ve3D = (x: 9; y: 2; z: 1);
       W2: Ve3D = (x:-5; y: 8; z: 1);
       W3: Ve3D = (x:-3; y: 9; z: 1);
 
 VAR Coef1, Coef2, Coef3: Reel;
 
 PROCEDURE Aff_NhS(N_: Z_32; h_, S_: Reel);
   CONST C1 = 35; L1 = 24;
   BEGIN
     We(C1, L1 - 2, N_,  9); Wr(C1, L1, h_, 15);
     Wr(C1, L1 + 2, S_, 15)
   END;
 
 FUNCTION LambdaV(Lambda: Reel; Va: Ve3D): Ve3D;
   VAR Vb: Ve3D;
   BEGIN
     Vb.x:= Lambda * Va.x; Vb.y:= Lambda * Va.y;
     Vb.z:= Lambda * Va.z; Result:= Vb
   END;
 
 FUNCTION Dist2(Va, Vb: Ve3D): Reel;
   VAR s, X2, Y2, Z2: Reel;
   BEGIN
     X2:= Sqr(Vb.x - Va.x); Y2:= Sqr(Vb.y - Va.y); s:= X2 + Y2;
     Z2:= Sqr(Vb.z - Va.z); Result:= s + Z2
   END;
 
 PROCEDURE Verification;
   CONST C1 = 5; C2 = C1 + 5; C3 = C1 + 25; L1 = 44; v = 22; w = v - 4;
   VAR D12c, D13c, D23c, s: Reel;
   BEGIN
     s:= Dist2(LambdaV(Coef1, W1), LambdaV(Coef2, W2)); D12c:= Sqrt(s);
     s:= Dist2(LambdaV(Coef2, W2), LambdaV(Coef3, W3)); D23c:= Sqrt(s);
     s:= Dist2(LambdaV(Coef1, W1), LambdaV(Coef3, W3)); D13c:= Sqrt(s);
     F(C3, L1 - 3, C3 + 5, L1 + 3, 1);                  E(0015);
     Wt(C1, L1 - 4, 'Distances Dij calcul‚es');
     Wt(C2, L1 - 2, 'D12calc = '); E(0010); Write(D12c:v:w); E(0015);
     Wt(C2, L1    , 'D23calc = '); E(0010); Write(D23c:v:w); E(0015);
     Wt(C2, L1 + 2, 'D13calc = '); E(0010); Write(D13c:v:w); A_
   END;
 
 FUNCTION SommeC(Q1, Q2, Q3: Reel): Reel;
   VAR E12, E13, E23, s: Reel;
   BEGIN
     s:= Dist2(LambdaV(Q1, W1), LambdaV(Q2, W2)); E12:= Sqr(s - D2_12);
     s:= Dist2(LambdaV(Q2, W2), LambdaV(Q3, W3)); E23:= Sqr(s - D2_23);
     s:= Dist2(LambdaV(Q1, W1), LambdaV(Q3, W3)); E13:= Sqr(s - D2_13);
     s:= E12 + E23;                               Result:= Sqrt(s + E13)
   END;
 
 PROCEDURE Exploration(VAR C_1, C_2, C_3: Reel);
   CONST K0 = 10; Sd2 = D2_12 + (D2_23 + D2_13); Lim = 1E-23 * Sd2;
   VAR i, j: Byte; Nit: Z_32;
       h, K1, K2, K3, s, t: Reel; Liste: ARRAY[1..6] OF Reel;
   BEGIN
     K1:= C_1; K2:= C_2; K3:= C_3;
     h:= 0.01; Nit:= 0;  s:= SommeC(K1, K2, K3);
     REPEAT
       t:= s; j:= 0; Inc(Nit);
       Liste[1]:= SommeC(K1 + h, K2,     K3);
       Liste[2]:= SommeC(K1 - h, K2,     K3);
       Liste[3]:= SommeC(K1,     K2 + h, K3);
       Liste[4]:= SommeC(K1,     K2 - h, K3);
       Liste[5]:= SommeC(K1,     K2,     K3 + h);
       Liste[6]:= SommeC(K1,     K2,     K3 - h);
       FOR i:= 1 TO 6 DO
         IF (t>Liste[i]) THEN BEGIN
                                t:= Liste[i]; j:= i
                              END;
       IF (j=0) THEN h:= 0.1 * h
                ELSE BEGIN
                       s:= Liste[j];
                       CASE j OF  1: IncR(K1, h); 2: DecR(K1, h);
                                  3: IncR(K2, h); 4: DecR(K2, h);
                                  5: IncR(K3, h); 6: DecR(K3, h)  END
                     END;
       Aff_NhS(Nit, h, s)
     UNTIL ((h<=Lim) OR KeyPressed);
     C_1:= K1; C_2:= K2; C_3:= K3
   END;
 
 PROCEDURE Aff1;
   CONST C1 = 5; L1 = 24;
   BEGIN
     E(0011); Wt(C1, L1 - 2, 'Nombre d''it‚rations:           Nit = ');
     Wt(C1, L1,     'Valeur ultime du pas:           h = ');
     Wt(C1, L1 + 2, 'Somme quadratique des ‚carts:  Sq = '); E(0013);
   END;
 
 PROCEDURE Aff_C123(y: Byte);
   CONST C1 = 5; C2 = C1 + 5; C3 = C1 + 23; v = 22; w = v - 4;
         T1 = 'initiales '; T2 = 'finales ';
         T3 = 'des 3 coefficients;';
   BEGIN
     F(C3, y + 1, C3 + 5, y + 7, 1);
     E(0015);                                 Wt(C1, y, 'Valeurs ');
     IF (y<15) THEN Write(T1) ELSE Write(T2); Write(T3);
     Wt(C2, y + 2, 'Coef1 = '); E(0010);      Write(Coef1:v:w); E(0015);
     Wt(C2, y + 4, 'Coef2 = '); E(0010);      Write(Coef2:v:w); E(0015);
     Wt(C2, y + 6, 'Coef3 = '); E(0010);      Write(Coef3:v:w)
   END;
 
 PROCEDURE Init_C123(VAR C_1, C_2, C_3: Reel);
   CONST K0 = 2;
   BEGIN
     C_1:= K0; C_2:= K0; C_3:= K0; Aff_C123(12); Aff1
   END;
 
 PROCEDURE Aff_Dini;
   CONST C1 = 5; C2 = C1 + 5; L1 = 2; v = 10; w = v - 4; m = 21; n = m - 3;
   BEGIN
     E(1014); Wt(C1, L1, 'Donn‚es initiales:');
     F(C1 + 60, L1 + 1, C1 + 65, L1 + 7, 1);
     E(0015); Wt(C2, L1 + 2, 'W1.x = '); E(0012); Write(W1.x:v:w);
     E(0015); Write('   W1.y = ');       E(0012); Write(W1.y:v:w);
     E(0015); Write('   D12 = ');        E(0014); Write(D12:m:n);
 
     E(0015); Wt(C2, L1 + 4, 'W2.x = '); E(0012); Write(W2.x:v:w);
     E(0015); Write('   W2.y = ');       E(0012); Write(W2.y:v:w);
     E(0015); Write('   D23 = ');        E(0014); Write(D23:m:n);
 
     E(0015); Wt(C2, L1 + 6, 'W3.x = '); E(0012); Write(W3.x:v:w);
     E(0015); Write('   W3.y = ');       E(0012); Write(W3.y:v:w);
     E(0015); Write('   D13 = ');        E(0014); Write(D13:m:n)
   END;
 
 BEGIN
   Aff_Dini;                         Init_C123(Coef1, Coef2, Coef3);
   Exploration(Coef1, Coef2, Coef3); Aff_C123(30);
   Verification
 END.

Il faudrait reprendre la condition d'arrêt, et reconsidérer l'opportunité du grand nombre d'itérations.

Une modification de la fonction Somme peut conduire à des minimums secondaires, qui ne correspondent pas au type de solution recherché; une vérification du triplet limite obtenu est indispensable.