Discussion :

[MichelleB]

Bonjour à tous,

J'ai lu qu'une logique contient
1) un vocabulaire
2) des règles de formations des formules
3) des règles d'inférence.

Faut-il en déduire que les seuls axiomes qui sont présents dans une logique sont ses règles de formation des formules et ses règles d'inférence ?

J'ai lu que, pour concevoir une théorie mathématique dans une logique, il faut d'abord fixer le langage auquel on peut appliquer les règles de formation générale de la logique utilisée. Ensuite, il faut donner une liste d'axiomes, qui doivent être des formules bien formées.

Dans la proposition précédente, est-ce qu'il faut comprendre qu'il faut d'abord fixer le langage de la théorie mathématique ?

Pour concevoir une théorie mathématique dans une logique, ne faut-il pas également appliquer les règles d'inférence de cette logique ?

Merci.

Bien à vous.

Michelle

[tbc92]

Ces questions 'théoriques' sont toujours alambiquées.
Tu as l'air surprise devant tel ou tel énoncé.
Essaie de formulerr concrètement un contre exemple.
Si on ne définit pas le vocabulaire, est-ce qu'on peut écrire des axiomes, des règles d'inférence ?
L'énoncé ne dit pas explicitement que le vocabulaire vient en premier, mais j'ai du mal à concevoir comment on pourrait faire, sans définir le vocabulaire en premier.
Pour tes autres questions, je pense que c'est un peu la même chose.

[MichelleB]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse.

Mon problème est le suivant : J'ai trouvé plusieurs définitions d'une logique. Certaines d'entre elles contiennent le mot axiome. D'autres définitions de ce mot ne contiennent pas le mot axiome. Donc j'aimerai savoir, s'il vous plaît, si une logique contient nécessairement au moins un axiome et, si oui, où peut-il se trouver :
- dans sa syntaxe ?
- dans une de ses règles d'inférence ?
- dans une de ses règles de formation des formules ?
- dans sa sémantique ?

Merci.

Bien à vous.

Michelle

[tbc92]

Personnellement, je ne sais pas répondre.
Par contre si tu donnes des liens vers 2 définitions différentes, une avec cette notion d'axiome, et l'autre sans, ce sera plus facile d'avancer. Ce sera plus facile de voir pourquoi au final, les 2 définitions se recoupent, ou pas.
Avec moi, ou avec d'autres intervenants.

[Flodelarab]

Bonjour

Les êtres humains prononcent des phrases, qui, en logique élémentaire, sont soit vraies, soit fausses. Mais en quoi ces phrases sont-elles vraies ? Les mathématiciens définissent tout un vocabulaire pour les caractériser.

• Un théorème est vrai car démontré.
• Une conjecture est vraie car on n'a pas démontré qu'elle était fausse.
• Un axiome est vrai car il est fondamental.
• Une assertion est vraie, sinon, il faut tout arrêter. (exemple : "Devant une voiture autonome qui roule, il n'y a rien".)
• Un lemme est vrai car il est démontré, mais il ne sert que de marche-pied à l'établissement d'un théorème.
• Et d'autres mots que j'oublie.

Je reviens sur l'axiome. La vérité implique la vérité, qui implique la vérité, qui implique la vérité, qui implique la vérité, qui implique la vérité, qui implique la vérité, qui implique la vérité. Mais la première phrase jugée vraie est-elle démontrée ? Non. C'est ça, un axiome. Quelque chose supposé vrai mais jamais démontré car trop fondamental. On peut transformer des axiomes en théorèmes, mais ils s'appuieront sur d'autres axiomes nouveaux.

si oui, où peut-il se trouver :
- dans sa syntaxe ?
- dans une de ses règles d'inférence ?
- dans une de ses règles de formation des formules ?
- dans sa sémantique ?

Attention au niveau de zoom. Tu regardes de trop près. Les axiomes sont exprimés avec le vocabulaire articulé par la syntaxe.

[MichelleB]

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses.

La définition d'un système logique qui se trouve ci-dessous ne contient pas, explicitement, le mot axiome.

"Un système logique (classique du premier ordre) consiste en
- un langage formel ou informel, les fameux symboles sans signification des Formalistes
- un système de règles de déduction, qui donnent les règles pour manipuler ces symboles, et encodent la validité des arguments,
- une sémantique, qui donne un sens aux symboles (les IA pourront peut-être s'en passer, mais les humains ont encore besoin de ces expédients, sous peine de migraine) et encode la notion de vérité. La notion que l'on verra est issue de la théorie des modèles."
Source
http://www.carolinevernier.website/classical.html


Je constate que cette définition ne contient pas le mot syntaxe ( les règles de formation des formules ). Pourquoi ?
Je sais qu'une règle d'inférence (ou de déduction) est un axiome de la logique utilisée.
Les axiomes sont exprimés avec le vocabulaire articulé par la syntaxe.
Reste à savoir si la sémantique peut contenir au moins un axiome.

D'autre part, je sais qu'un système axiomatique est constitué
- d'un vocabulaire
- de règles de formation des formules du langage
- d'axiomes : les formules initiales
- de règles d'inférence ( permettant de dériver d'autres formules à partir des formules initiales ) : les règles de démonstration des théorèmes.

Donc il me semble qu'un système logique est un système axiomatique particulier mais je ne sais pas comment définir le premier grâce au second car, d'après les propositions précédentes, je ne peux pas écrire qu'un système logique est un système axiomatique sans axiomes.

Merci.

Bien à vous.

Michelle