Il n'est pas interdit d'écrire:
x2 = y2 + 2.y(a - b)/2 + (a - b)2/4 - (a - b)2/4 - a.b
soit encore:
x2 = (y + (a - b)/2)2 - K(a, b) ,
avec
K(a, b) = ((a - b)2 + 4a.b)/4 = (a + b)2/4 ≥ 0 pour toute valeur des réels (a, b).
Deux cas se présentent donc:
a) si a + b = 0 : alors x = ±(y + (a - b)/2) ,
équation de deux droites (D1, D2) de pentes opposées (±1), se coupant sur l'axe (y'y) au point (0, (b - a)/2) ;
b) si a + b ≠ 0 : alors │x│ < │y + (a - b)/2│ , et la courbe se situe à l'intérieur des deux secteurs délimités par les deux droites précédentes, et contenant l'axe (y'y);
# les deux points situés sur cet axe (x = 0) vérifient: (y + (a - b)/2)2 = (a + b)2/4 ,
d'où: y = ±(a + b)/2 - (a - b)/2 = b ou -a ;
# pour (a, b) donnés, le terme constant K(a, b) devient négligeable devant celui qui le précède lorsque │y│ tend vers l'infini; les arcs de courbe se rapprochent donc des droites (D1, D2) qui apparaissent comme les asymptotes de l'hyperbole.
Calculs à vérifier.
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