Dans le cas du triangle (ABC) rectangle en (C), la loi des sinus s'écrit:
a/Sin(α) = b/Sin(β) = c/Sin(γ) , avec γ = π/2 ,
ce qui entraîne
Sin(γ) = 1 , a = c*Sin(α) et b = c*Sin(β) ;
on retrouve ici la définition du sinus des deux angles présents dans le triangle rectangle.
En traçant depuis le sommet (C) de l'angle droit le segment (CH) perpendiculaire au côté apposé, on fait apparaître deux nouveaux angles de valeurs connues:
(BCH) = (CAB) = α , (ACH) = (CBA) = β ,
les côtés des deux angles étant deux à deux perpendiculaires.
Il vient désormais, compte tenu de la présence de deux triangles adjacents rectangles en (H):
CH = a*Cos(α) = a*Sin(β) , CH = b*Sin(α) = b*Cos(β)
d'où les relations:
Sin(α) = Cos(β) , Cos(α) = Sin(β)
caractérisant deux angles complémentaires (α + β = π/2).
Enfin le pied (H) de la hauteur se situant à l'intérieur du segment (AB) puisqu'on trouve en ses extrémités deux angles aigus (α et β < π/2), la longueur du côté opposé à l'angle droit admet pour expression:
AB = AH + BH
d'où: c = b*Cos(α) + a*Cos(β) = c*Cos²(α) + c* Cos²(β) ,
et par l'échange des sinus et des cosinus:
1 = Sin²(α) + Cos²(α) = Sin²(β) + Cos²(β) .
En multipliant le tout par (c²), il vient:
c² = (c*Sin(α))² + (c*Cos(α))² = a² + b² .
On peut constater que la relation fondamentale unissant les fonctions sinus et cosinus 1 = Sin²(θ) + Cos²(θ) et la relation de Pythagore c² = a² + b² sont très étroitement apparentées.
La démonstration est de nature géométrique, en raison essentiellement de la dernière étape (AB = AH + BH) impliquant la partition de l'hypoténuse.
Calculs à vérifier.
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