Discussion :

[toumic2.0]

Bonjour,

Je vous propose un nouvel élément à utiliser : Résolution de la conjecture Collatz et problème de Syracuse

"""#python

Bonjour, c'est Bing. Je peux vous aider à trouver des informations sur les nombres pairs et impairs. 😊



Vous avez décrit une règle qui s'applique aux nombres entiers. Pour un nombre pair, on le divise par deux.

Pour un nombre impair, on le multiplie par trois et on ajoute un. Par exemple :



- Si le nombre est 4, il est pair, donc on le divise par deux : 4 / 2 = 2

- Si le nombre est 5, il est impair, donc on le multiplie par trois et on ajoute un : 5 x 3 + 1 = 16



Cette règle est connue sous le nom de **conjecture de Collatz** ou de **problème de Syracuse**.

C'est un problème mathématique qui n'a pas encore été résolu.

Il consiste à se demander si, en appliquant cette règle à n'importe quel nombre entier positif,

on finit toujours par obtenir 1.



Par exemple, si on part de 6, on obtient la suite suivante :



- 6 est pair, donc on le divise par deux : 6 / 2 = 3

- 3 est impair, donc on le multiplie par trois et on ajoute un : 3 x 3 + 1 = 10

- 10 est pair, donc on le divise par deux : 10 / 2 = 5

- 5 est impair, donc on le multiplie par trois et on ajoute un : 5 x 3 + 1 = 16

- 16 est pair, donc on le divise par deux : 16 / 2 = 8

- 8 est pair, donc on le divise par deux : 8 / 2 = 4

- 4 est pair, donc on le divise par deux : 4 / 2 = 2

- 2 est pair, donc on le divise par deux : 2 / 2 = **1**



On a obtenu **1** au bout de **8** étapes. On dit que le temps de vol de **6** est de **8**.



La conjecture de Collatz affirme que pour tout nombre entier positif,

il existe un temps de vol fini qui permet d'obtenir **1**.

Mais personne n'a réussi à le démontrer ni à le réfuter.



Trouvez-vous ce problème intéressant ?

Qu'en pensez-vous ?

[toumic2.0]

J'ai bien aimé le voyage mental parcouru lors de l'exercice

[tyrtamos]

Bonjour

Problème intéressant! Mais il vaudrait mieux parler de "vérification" plutôt que de "résolution" puisque cette conjecture n'a jamais été résolue.

Une page web pour la définition:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Voilà un petit code pour cette vérification:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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def syracuse(n):
    """ Calcule la conjecture de Syracuse pour n
    """
    suite, k = [n], n
    while k != 1:
        k = k//2 if k%2==0 else k*3+1
        suite.append(k)
    return suite

La vérification consiste à constater que la suite se termine toujours par "1", quelque soit n

Si on reprend l'exemple de wikipedia: n=15

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
n = 15
suite = syracuse(n)
print(n, suite)
15, [15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Curieusement, il y a un vocabulaire particulier à cette conjecture:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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print("temps de vol:", len(suite)-1)
 
for i, x in enumerate(suite):
    if x<n:
        break
print("temps de vol en altitude:", i-1)
 
print("altitude maximale:", max(suite))

Ce qui affiche

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
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3
temps de vol: 17
temps de vol en altitude: 10
altitude maximale: 160

Autre exemple cité par wikipedia:
n = 27. Résultat:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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27 [27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]
temps de vol: 111
temps de vol en altitude: 95
altitude maximale: 9232

Il faudrait faire ce calcul pour des millions de valeurs n pour vérifier que la suite se termine toujours avec une valeur "1", et jusqu'à présent, personne n'a trouvé le contraire. Mais cette conjecture n'aura pas été pour autant résolue mathématiquement.

[toumic2.0]

Le sujet est intéressant, et en dernière analyse pour qu'on puisse comprendre sa mécanique.

Tout tourne autour de la parité du nombre et de son utilité algorithmique :

Impair § pair ... a/2 § a*3+1

Comprendre la mécanisation par son sens logique évident.
Au total de deux entrées(pair,impair), deux opérations(/2,*3+1) et deux sorties(pair,impair).

Les flux générés pairs/impairs sont méthodiquement transformés en pairs/impairs sortants, ce processus pratiqué sur un nombre exemplaire. En stimulant chaque particule algo(a/2), algo(a*3+1), pour ce faire il nous faut un petit code Python☺

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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# Que fait une série de nombres pairs divisés par deux ? Multipliés par trois, puis ajouter un ?
print(' Quand b%2 = 0 = a/2 = Nombre pair.\n Si, b%2 = 1 = a/2 = Nombre impair. ☺')
for a in range(0, 33, 2):
    b = a / 2
    c = a * 3 + 1
    print('PAIRE.a:', a, '\t b = a/2=', b, ' b%2:', b%2, '\t c = a*3+1=', c, 'c%2=', c%2, '\tfin impaire.')
    ()
# Ici, la partie décimale est entière.
# PAIRES =a/2[PERMUTE(±)] et a*3+1[IMPAIR] || Départ pair phase[a*3+1].impair()|

Justement pour voir comment réagissent les algos et quelles sont leurs transformées ?
Puis un dernier pour le code, juste histoire d'avoir l'air d'avoir tout lu ☺

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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# Que fait une série de nombres impairs divisés par deux ? Multipliés par trois, plus un ?
for a in range(1, 33, 2):
    b = a / 2
    c = a * 3 + 1
    print('IMPAIRE.a:', a, '\t b = a/2=', b, ' b%2:', b%2, '\t c = a*3+1=', c, 'c%2=', c%2, '\tfin paire.')
    ()
# Ici, la partie entière est décimale.
# IMPAIRES =a/2[PERMUTE(±)] et a*3+1[PAIR] || Départ impair phase[a*3+1].pair()|

En règle général (Python)

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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# Conjœncturæs ±(/2), ±(*3+1) ☺
 
# Que fait une série de nombres pairs divisés par deux ? Multipliés par trois, puis ajouter un ?
print(' Quand b%2 = 0 = a/2 = Nombre pair.\n Si, b%2 = 1 = a/2 = Nombre impair. ☺')
for a in range(0, 33, 2):
    b = a / 2
    c = a * 3 + 1
    print('PAIRE.a:', a, '\t b = a/2=', b, ' b%2:', b%2, '\t c = a*3+1=', c, 'c%2=', c%2, '\tfin impaire.')
    ()
# Ici, la partie décimale est entière.
# PAIRES =a/2[PERMUTE(±)] et a*3+1[IMPAIR] || Départ pair phase[a*3+1].impair()|
""" Quand b%2 = 0 = a/2 = Nombre pair.
 Si, b%2 = 1 = a/2 = Nombre impair. ☺
PAIRE.a: 0      b = a/2= 0.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 1 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 2      b = a/2= 1.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 7 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 4      b = a/2= 2.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 13 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 6      b = a/2= 3.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 19 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 8      b = a/2= 4.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 25 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 10      b = a/2= 5.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 31 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 12      b = a/2= 6.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 37 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 14      b = a/2= 7.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 43 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 16      b = a/2= 8.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 49 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 18      b = a/2= 9.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 55 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 20      b = a/2= 10.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 61 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 22      b = a/2= 11.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 67 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 24      b = a/2= 12.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 73 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 26      b = a/2= 13.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 79 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 28      b = a/2= 14.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 85 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 30      b = a/2= 15.0  b%2: 1.0      c = a*3+1= 91 c%2= 1     fin impaire.
PAIRE.a: 32      b = a/2= 16.0  b%2: 0.0      c = a*3+1= 97 c%2= 1     fin impaire."""
print()
# Que fait une série de nombres impairs divisés par deux ? Multipliés par trois, plus un ?
for a in range(1, 33, 2):
    b = a / 2
    c = a * 3 + 1
    print('IMPAIRE.a:', a, '\t b = a/2=', b, ' b%2:', b%2, '\t c = a*3+1=', c, 'c%2=', c%2, '\tfin paire.')
    ()
# Ici, la partie entière est décimale.
# IMPAIRES =a/2[PERMUTE(±)] et a*3+1[PAIR] || Départ impair phase[a*3+1].pair()|
""" Quand b%2 = 0 = a/2 = Nombre pair.
 Si, b%2 = 1 = a/2 = Nombre impair. ☺
IMPAIRE.a: 1      b = a/2= 0.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 4 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 3      b = a/2= 1.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 10 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 5      b = a/2= 2.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 16 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 7      b = a/2= 3.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 22 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 9      b = a/2= 4.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 28 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 11      b = a/2= 5.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 34 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 13      b = a/2= 6.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 40 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 15      b = a/2= 7.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 46 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 17      b = a/2= 8.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 52 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 19      b = a/2= 9.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 58 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 21      b = a/2= 10.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 64 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 23      b = a/2= 11.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 70 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 25      b = a/2= 12.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 76 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 27      b = a/2= 13.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 82 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 29      b = a/2= 14.5  b%2: 0.5      c = a*3+1= 88 c%2= 0     fin paire.
IMPAIRE.a: 31      b = a/2= 15.5  b%2: 1.5      c = a*3+1= 94 c%2= 0     fin paire."""

[toumic2.0]

Un peu comme, si on essayait de comprendre le fonctionnement en transformant les algos par des simples objets répondants aux mouvements.
Comme si le fait de diviser les nombres pairs une fois sur deux, comme si les nombres impairs étaient tous transformés en nombres pairs avec une multiplication par trois.

Un nombre exemplaire a une hauteur descendante en deux rangs, ralenti avec une faible remontée par trois à juste un rang de hauteur au-dessus du nombre exemplaire.
Tous les nombres sont ramenés aux nombres pairs qui divise par deux, en descendant la hauteur de deux rangs progressivement.
Ces nombres pairs peuvent correspondre à un nombre inclus dans une liste spéciale.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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    # Création des multiples de deux
    "Cette série peut ou non chronique au nombre saisi par l'utilisateur"
    tab_deux, pro_deux = [], 2
    for d in range(2, 30, 2):
        pro_deux *= 2
        # div_deux = d // 2
        tab_deux.append(pro_deux)
    ('Table des multiples de deux =\n', tab_deux)

Il est évident qu'une fois le nombre dans cette liste(tab_deux), ce dernier sera divisé par deux jusqu'à obtenir 1.

.../...

Puis finalement même si je n'arrive pas à l'expliquer, il y a une part de découverte dans l'analyse de ce problème ♥.

[toumic2.0]

[toumic2.0]

Bonjour

Problème intéressant! Mais il vaudrait mieux parler de "vérification" plutôt que de "résolution" puisque cette conjecture n'a jamais été résolue.

Il faudrait faire ce calcul pour des millions de valeurs n pour vérifier que la suite se termine toujours avec une valeur "1", et jusqu'à présent, personne n'a trouvé le contraire. Mais cette conjecture n'aura pas été pour autant résolue mathématiquement.

Moi je parle de résolution.

Pour un nombre pair qui descend de quatre une fois sur deux.
Et,, d'un nombre impair qui ramène à pair systématiquement.

Ce déroulement se réalise à chaque boucle : Pair descend de quatre et Impair monte de trois. (Une fois sur deux)

Le phénomème descend plus qu'il ne grimpe, la preuve est là !

[tyrtamos]

Bonjour

Moi je parle de résolution

Ce problème n'a jamais été résolu mathématiquement et c'est pour ça qu'on l'appelle "conjecture".

[wiztricks]

Moi je parle de résolution.[/COLOR]

Votre approche est mentionnée dans l comme approche probabiliste.
Mais une approche probabiliste (çà marche dans N % des cas) n'exclut pas l'existence d'entiers pour lesquels ça ne marche pas i.e. ce n'est pas une démonstration/résolution.

- W

[toumic2.0]

Bonjour

Problème intéressant! Mais il vaudrait mieux parler de "vérification" plutôt que de "résolution" puisque cette conjecture n'a jamais été résolue.

Une page web pour la définition:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Voilà un petit code pour cette vérification:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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def syracuse(n):
    """ Calcule la conjecture de Syracuse pour n
    """
    suite, k = [n], n
    while k != 1:
        k = k//2 if k%2==0 else k*3+1
        suite.append(k)
    return suite

La vérification consiste à constater que la suite se termine toujours par "1", quelque soit n

Si on reprend l'exemple de wikipedia: n=15

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
n = 15
suite = syracuse(n)
print(n, suite)
15, [15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Curieusement, il y a un vocabulaire particulier à cette conjecture:

Code :

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print("temps de vol:", len(suite)-1)
 
for i, x in enumerate(suite):
    if x<n:
        break
print("temps de vol en altitude:", i-1)
 
print("altitude maximale:", max(suite))

Ce qui affiche

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
temps de vol: 17
temps de vol en altitude: 10
altitude maximale: 160

Autre exemple cité par wikipedia:
n = 27. Résultat:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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27 [27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]
temps de vol: 111
temps de vol en altitude: 95
altitude maximale: 9232

Il faudrait faire ce calcul pour des millions de valeurs n pour vérifier que la suite se termine toujours avec une valeur "1", et jusqu'à présent, personne n'a trouvé le contraire. Mais cette conjecture n'aura pas été pour autant résolue mathématiquement.

Et ça va bien ? ☺

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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35
36
37
Nombre à évaluer : 64origine : 64 . Appartient à la section :  64
Dico =  [64, 32, 16, 8, 4, 2]                Longueur Terminale =  6
Dico =  [62]                  Longueur =  1
Dico =  [60, 30]                  Longueur =  2
Dico =  [58]                  Longueur =  1
Dico =  [56, 28, 14]                  Longueur =  3
Dico =  [54]                  Longueur =  1
Dico =  [52, 26]                  Longueur =  2
Dico =  [50]                  Longueur =  1
Dico =  [48, 24, 12, 6]                  Longueur =  4
Dico =  [46]                  Longueur =  1
Dico =  [44, 22]                  Longueur =  2
Dico =  [42]                  Longueur =  1
Dico =  [40, 20, 10]                  Longueur =  3
Dico =  [38]                  Longueur =  1
Dico =  [36, 18]                  Longueur =  2
Dico =  [34]                  Longueur =  1
 
 
 Résultats globaux
Longueur terminale =  6  Longueur exposant de 2
Nombre    listes =  16  Nombre total des listes
Partie    listes =  5  Nombre de parties trilog. Il reste =  0
Section   listes =  4  Longueur de la sous-liste [1, 2, 3, 4, 6]
 
 
 Résultats partiels
Ci:  1 [62, 58, 54, 50, 46, 42, 38, 34] Quantités (cumul, partiel) (8, 8) 
*    Nbr liste//c=  8
Ci:  2 [60, 52, 44, 36] Quantités (cumul, partiel) (16, 8) 
*    Nbr liste//c=  4
Ci:  3 [56, 40] Quantités (cumul, partiel) (22, 6) 
*    Nbr liste//c=  2
Ci:  4 [48] Quantités (cumul, partiel) (26, 4) 
*    Nbr liste//c=  1
Ci:  6 [64] Quantités (cumul, partiel) (32, 6) 
*    Nbr liste//c=  1

[tyrtamos]

Bonjour

J'ai toujours beaucoup de mal à vous comprendre, mais au moins, vous ne reculez pas devant le boulot!

Avez-vous une question concernant mon code?

[toumic2.0]

Bonjour

J'ai toujours beaucoup de mal à vous comprendre, mais au moins, vous ne reculez pas devant le boulot!

Avez-vous une question concernant mon code?

Non votre message nous éclaire sur ce sujet de réflexion, il est simple et amusant à cause de son côté "aéroporté".

Mais c'est sans compter sur mon côté "astronaute", qui par cet enfin réalise un excellent voyage numérique avec ce menu du chef.

Vous avez bien compris que ce développement des nombres pairs et nécessaire à la création de d'informations concernant le parcours de Syracuse☺
Comme une première fois, les résultats ont été obtenus par rapport à des listes créées (ce qui prend trop de temps lors de très nombreux chiffres),
le deuxième essai se fera avec des équations mathématiques permettant ainsi de régler le temps à sa plus basse mesure...
@ bientôt