Discussion :

[Timo734900]

Bonjour à tous,

Nouveau sur ce forum, je me permets de vous solliciter concernant un problème de géométrie.
Dans le cas ci-dessous, je cherche à déterminer les coordonnées x et y permettant de calculer "d" représentant la distance entre le centre de l'ellipse et le point de contact du cercle et de l'ellipse.
Je connais les coordonnées du centre de l'ellipse, le rayon du cercle et l'angle de rotation de l'ellipse.





Je suis preneur de toute aide me permettant d'avancer sur mon problème.
Merci d'avance pour vos retours.

[mathieu]

Je connais les coordonnées du centre de l'ellipse, le rayon du cercle et l'angle de rotation de l'ellipse.

j'ai l'impression que l'ellipse n'est pas complètement définie avec ça puisqu'elle pourrait être plus ou moins "écrasée" et cela ne donnera pas le même point de contact.
il faudrait rajouter un paramètre :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellips...C3%A9matiques)

[Guesset]

Bonjour,

Je pense qu'il faut également connaître les coordonnées du centre du cercle sinon il y a une infinité de solutions.

Les jeux olympiques ne sont pas loin

Salutations

[Flodelarab]

Bonjour

Rappels :

• Les points d'un cercle sont les points équidistants du centre.
• Les points d'une ellipse sont les points tels que la somme des distances de ces points aux foyers (de part et d'autre du centre de l'ellipse) est constante.

Vu comme ça, tu calcules les distances et obtiens un système de deux équations à 2 inconnues, et trouves les intersections. Tu n'as même pas besoin d'être précis. Une dichotomie peut te suffire.

[Waptia]

Bonjour,

Si toutes les caractéristiques de l'ellipse (centre, demi-axes, orientation) sont connues, il est alors possible de travailler dans le repère propre (xOy) qui lui est attaché. Il suffit en effet de localiser les foyers (F, F') correspondants, disposés sur l'axe (x'x) symétriquement par rapport au centre (O); sachant que la tangente à la courbe au point (M) est normale à la bissectrice de l'angle déterminé par les deux segments (MF, MF'), le centre (C) du cercle considéré se trouve sur cette dernière droite, à une distance du point de contact (M) égale à son propre rayon (ce qui conduit d'ailleurs à deux solutions).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellips...C3%A9matiques)

L'orientation des deux segments (MF, MF') est déterminée par les vecteurs unitaires:

u = (1/MF).MF , u' = (1/MF').MF' ;

celle de la bissectrice par leur somme géométrique: v = u + u' ;
le positionnement du centre (C) sur cette dernière peut donc s'exprimer par la relation: Det(v, MC) = 0 .

Autre possibilité: soit F(X, Y) = 0 l'équation cartésienne de l'ellipse dans le repère orthonormé (XCY) du schéma initial, dont l'origine coïncide avec le centre du cercle considéré. Celui-ci peut être parcouru à l'aide d'un paramétrage approprié:

X:= R*Cos(t) , Y = R*Sin(t) .

Si l'ellipse et le cercle présentent un unique point de contact (correspondant à une double intersection), alors la fonction

G(t) = F(R*Cos(t), R*Sin(t))

s'annule une fois et une seule sur le domaine [0. ; 2π], et sans changement de signe; on a en effet F(X, Y) > 0 à l'extérieur de la courbe si les coefficients des termes (X², Y²) sont eux-mêmes positifs.
Au voisinage du point de contact, la grandeur calculée est un infiniment petit du second ordre

G(t) ≈ K*(t - t₀)² (avec K > 0 si le cercle est extérieur à l'ellipse),

et l'on peut accélérer la recherche de la racine (t₀) en travaillant sur une fonction localement quasi-linéaire

H(t) = G(t)^1/2 ≈ √K*(t - t₀) .

Ce point double caractéristique reste présent lorsque l'ellipse et le cercle présentent deux autres points d'intersection.

[Waptia]

Troisième piste, en reprenant l'équation cartésienne F(X, Y) = 0 de l'ellipse dans le repère (XCY):
le gradient de la fonction F(X, Y)

Grad(F) = (∂F/∂X).u_X + (∂F/∂Y).u_Y

est un vecteur localement normal à la courbe, et orienté vers l'extérieur si les coefficients des termes (X², Y²) sont positifs;
il est donc normal à la tangente, donc colinéaire au rayon vecteur (CM), ce qui se traduit par la relation:

Det(Grad(F), CM) = 0 ,

soit encore: (∂F/∂X)*y - (∂F/∂Y)*X = 0 .

La localisation des deux zéros de cette équation du second degré ne devrait pas poser de difficulté, et cette option me paraît la plus appropriée à la résolution de ce problème, dont j'ai un peu de mal à cerner l'énoncé.

PS: un doute a surgi ce matin: l'ellipse admettrait-elle non pas deux, mais quatre cercles concentriques tangents, centrés au point (C) ? Il semblerait que non, puisqu'en un point quelconque du plan on ne peut faire apparemment passer que deux droites tangentes à la développée de l'ellipse:

https://mathcurve.com/courbes2d/tetr...acuspide.shtml

[Waptia]

Bonsoir,

L'image était trompeuse, à cause de la faible lisibilité du schéma

Par un point quelconque du plan de la courbe, on peut faire passer
1) deux droites tangentes à la développée de l'ellipse, si le point considéré (par ex. K₁) se trouve à l'extérieur de la développée;
2) quatre droites tangentes à la développée de l'ellipse, si le point considéré (par ex. K₂) se trouve à l'intérieur.

Par conséquent, tout point du plan peut être, selon sa position, le centre de 2 ou 4 cercles tangents à l'ellipse.

Image prise sur Chronomath
http://serge.mehl.free.fr/anx/dev_elli_java.html