Discussion :

[Zarkoro]

Bonjour,
Mon niveau dans le domaine des probabilités étant plutôt catastrophique, je recherche de l'aide sur un problème :


On effectue des tirages.
On a une probabilité de 6% d'obtenir un gain de 1 à chaque tirage et 0 dans le reste des cas. De plus, tous les 10 tirages où aucun gain n'a été remporté, un gain de 1 est offert.

Je voudrais donc déterminer le gain moyen après chaque tirage.



La formule la plus proche à laquelle j'ai abouti est celle-là :

u(n) = 1-(94/100)^n + {⌊n/10⌋, k=1}Σ( (94/100)^10k )

Où je calculais simplement la probabilité de gagner à laquelle j'ajoutais tout les 10 tirages la probabilité correspondant au 10e tirage tirage perdu.
Le problème évident de cette formule étant que je ne tiens compte du gain tout les 10 tirages uniquement lorsque les 9 précédents étaient perdants.


En bref, je n'ai pas les compétences nécessaires pour ne serait-ce que me rendre compte de la solubilité de ce problème. Je m'en remet donc à vous

Merci d'avance pour votre aide et vos réponses

[User]

Bonjour,

Ce n'est pas très clair :

Vous parlez de gain moyen après n tirages ?

S'il s'agit d'épreuves de Bernoulli (proba succès : p=0.06, nombre d'épreuves : n), donc il faudrait regarder du côté de la loi binomiale et plus précisément dans le cas simple voir l'espérance de gain de cette loi pour n épreuves :

E1 = np

Ensuite ajouter l'espérance de gain tous les 10 tirages sans gain.

J'arrive à ceci pour n épreuves de Bernoulli :

E2 = n(1-p)/10

G = E1+E2

J'espère ne pas dire de bêtise, mais pouvez vous préciser votre demande ?

[tbc92]

On va supposer qu'on s'intéresse à 'beaucoup' de tirages. Pour éviter certains effets de bords.
Et on va reformuler le jeu :
- on effectue une série de tirages, jusqu'à gagner 1. Et on s'intéresse à la loi de répartition : combien faut-il de tirages pour gagner 1.
NT = 1 dans 6% des cas (NT = nombre de tirages, 1 seul tirage suffit dans 6% des cas )
NT = 2 dans 5.64% des cas
NT = 3 dans 5.30% des cas
etc
NT = 9 dans 3.66% des cas
Et si j'ai eu 9 échecs successifs, je refais un tirage, mais que ce tirage soit perdant ou gagnant, on va m'accorder un gain.
NT=10 dans 57.30% des cas.
Je fais la moyenne de ces nombres ; Il faut en moyenne 7.69 tirages pour obtenir un gain.

Le gain moyen est donc de n/7.69 = n*0.13

Je disais que c'est valable uniquement pour des nombres n de tirages suffisamment grand. En effet, cas extrême, si on prend par exemple n=8, le bonus n'aura pas le temps de s'appliquer, et le gain moyen n'est que de n*0.06.

Une simulation Python confirme ce résultat.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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from random import random as rand 
n = 1000000
gain = 0 
echecs=0
for i in range(n):
    r = rand()
    if r <0.06 :
        gain = gain +1 
        echecs = 0
    else :
        echecs = echecs + 1
        if echecs == 10  :
            gain = gain +1 
            echecs = 0
print(gain)

Résultats :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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10
129836
130134
129784
130044
130168
129917
130084
129981
129873
129923

[Zarkoro]

Tout d'abord merci pour vos réponses !

Ce n'est pas très clair :
Vous parlez de gain moyen après n tirages ?

Oui, je me suis rendu compte après que le gain n'étant pas proportionnel, ça n'a pas de sens de chercher le gain moyen après chaque tirage.

il faudrait regarder du côté de la loi binomiale et plus précisément dans le cas simple voir l'espérance de gain de cette loi pour n épreuves

J'avoue que je ne connais pas trop les propriétés autour des probabilités... Qu'est-ce que c'est que ce cas simple dont vous parlez exactement ?

Et on va reformuler le jeu :
- on effectue une série de tirages, jusqu'à gagner 1. Et on s'intéresse à la loi de répartition : combien faut-il de tirages pour gagner 1.
NT = 1 dans 6% des cas (NT = nombre de tirages, 1 seul tirage suffit dans 6% des cas )
NT = 2 dans 5.64% des cas
NT = 3 dans 5.30% des cas
etc
NT = 9 dans 3.66% des cas
Et si j'ai eu 9 échecs successifs, je refais un tirage, mais que ce tirage soit perdant ou gagnant, on va m'accorder un gain.
NT=10 dans 57.30% des cas.
Je fais la moyenne de ces nombres ; Il faut en moyenne 7.69 tirages pour obtenir un gain.

Je me trompe peut-être mais j'ai l'impression que cette méthode ne prend pas en compte les cas où on gagne plusieurs fois sur 10 tirages, et de même pour les cas après le 10e (par exemple le 11e est différent du 1er dans la mesure où le cas dont le tirage avait réussi au 1er tour puis échoué au 9 suivants sera garanti de réussir au 11e tour) mais c'est probablement lié à mon premier questionnement.

Je suis surtout étonné parce que les résultats sont cohérents avec les simulations que j'ai pu faire de mon côté ^^"""

[User]

...

J'avoue que je ne connais pas trop les propriétés autour des probabilités... Qu'est-ce que c'est que ce cas simple dont vous parlez exactement ?

Bonjour,

Le cas simple pour une épreuve : gain : 1; échec: 0

La proba d'avoir exactement k gains au cours de n épreuves de Bernoulli :

p(x=k) = c(n,k).p^k(1-p)^(n-k)

Espérance de gain (ou gain moyen) après n épreuves, il faut prendre en compte tous les cas possibles (k=0, k=1, k=2, .., K=n):

https://homeomath2.imingo.net/esperance.htm

Après il faut prévoir le gain de 1 tous les 10 échecs..et faire des tests avec Python comme proposé par tbc92 car c'est plus compliqué.

[tbc92]

Je me pose la question : combien faut-il de tirages pour gagner 1 ?
Il faut au maximum 10 tirages, parce que si on a 10 échecs, on nous donne 1.

Dans ton message initial, on parle de tirages successifs, ok.
J'introduis une notion intermédiaire : une partie.
Une partie, c'est une série de plusieurs tirages (maximum 10), autant de tirages que nécessaires, jusqu'à ce qu'on gagne 1. C'est alors la fin de la partie, et on va commencer la partie suivante.

Et je m'intéresse à la durée moyenne d'une partie. Si une partie dure en moyenne T tirages, alors, au bout de 10000 parties, j'aurai statistiquement gagné 10000/T fois.

Les 10 chiffres que je donne, ça concerne une partie. Une partie a 6 chances sur 100 de se finir dès le 1er tirage, elle a 0.94*6 chances sur 100 de se finir dès le 2nd tirage etc etc (en multipliant par 0.94 à chaque fois), et si elle n'est toujours pas gagnée au 9ème tirage, on est sûr de gagner au 10ème tirage.
Je trouve qu'une partie dure en moyenne 7.69 tirages. Est-ce que tu comprends comment j'arrive à ce 7.69 ?

Mais je n'ai aucun doute, ça répond à ta question.

La simulation Python, c'est bien, mais ça ne vient que confirmer le calcul 'théorique'. Ici, on a une variance très faible, les 10 essais de simulation Python donnent tous des résultats très proches. Parfois, on a des jeux où le gain moyen est de 13000, mais avec une très très forte dispersion autour du gain moyen, et dans ce cas, une simulation va nous donner 12000, la suivante va donner 15000 voire 20000 .... comment en déduire le vrai résultat, le 13000 ?

[User]

Bonjour,

J'ai pu tester la solution proposé par tbc92 avec gain de 1 après 10 échecs consécutifs, perso j'avais compris 1 gain après 10 échecs pas forcément consécutifs.

Je fais une simple moyenne de 1000 résultats données par la fonction aléatoire :

Code Python :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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from random import random as rand
 
def gain_moyen(n,p,m):
    # calcul gain moyen : avec gain de 1 tous les m tirages avec échec
    return n*p + n*(1-p)/m
 
def gain_moyen_alea(n, m):
 
    gain = 0 
    echecs=0
    for i in range(n):
        r = rand()
        if r <0.06 :
            gain = gain +1 
            echecs = 0
        else :
            echecs = echecs + 1
            if echecs == m  :
                gain = gain +1 
                echecs = 0
    return gain
 
def gain_moyen_aleatoire(n,m):
    # calcul gain moyen : algo proba.
    s=0
 
    for i in range(1000):
        s += gain_moyen_alea(n,m)
 
    return s/1000
 
 
def proba_succes(m,p):
    # proba gain : avec gain de 1 tous les m tirages consécutifs avec échec
    # proba gain = 0.13 pour m=10 : formule obtenue avec wolfram alpha
    # gain moyen = proba_succes*n 
 
    return 1/(m*(1 - p)**m - (m*p*(1 - p)**m + (1 - p)**m - 1)/p)
 
m = 10
n = 12532
 
gm1 = gain_moyen_aleatoire(n,m)
print(gm1)
 
proba_gain = proba_succes(m, 0.06)
 
gm2 = n*proba_gain
print(gm2)

Cdlt,

[tbc92]

Si on donne 1€ tous les 10 échecs (pas forcément consécutifs), c'est beaucoup plus simple.

Chaque tirage est gagnant avec une probabilité de 6%.

Pour n tirages, on a donc une espérance de 0.06 n tirages gagnants, et 0.94 n tirages perdants.
On divise ce 0.94 n par 10, parce qu'on nous reverse 1 gain pour 10 tirages perdants. Ce processus nous redistribue donc 0.094 n euros.
Donc on total, on gagne (0.06+0.094) n , c'est à dire 0.154 n

[Zarkoro]

Merci à tous pour vos réponses !
Grâce à votre aide et vos exlications mon problème est résolu. Encore merci !