Interpolation polynomiale, moindres carrés

**progfou** · 26/10/2006, 18h58

Bonsoir à tous !
J'essaie de modéliser une image en une série de volumes de taille 3x3 ou 5x5 avec :
z(x,y) l'intensité lumineuse de l'image au point (x,y).
z(x,y) = ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f

Je sais qu'on peut le faire en utilisant les moindres carrés, mais impossible de retrouver les matrices donnant les valeurs de a,b,c,d,e et f...
Si vous pouvez m'aider, je serais très intéressé.

Si l'on s'arrête à l'estimation d'un plan, c'est trouver a,b et c tels que :
z(x,y)=ax+by+c

Si vous pouvez m'aider avec ça, il me semble que la matrice pour a (ou b) est du style :

-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1

A un coefficient près, mais je n'arrive pas à le retrouver "proprement" (au sens des moindres carrés).

Merci d'avance !

**j.p.mignot** · 26/10/2006, 19h05

J'avais fourni du code pour du fit moindre carré et du fit polynomial
voir
http://www.developpez.net/forums/sho...t=63949&page=3
pour un fit moindre carré ittératif il va fonctionner. Le fit polynômial devra probablement être adapté.
Me demander si entre ses 2 propositions, il n'y a pas de solution au problème posé.

A vérifier mais cela doit + ou moins conduire à :

ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f

Résidu := Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f) ] ^2

@R/@a = 0=> Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f ) Xi^2 = 0
@R/@b = 0 => Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f )] Yi^2 = 0
@R/@c = 0 => Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f )] XiYi = 0
@R/@d = 0 => Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f )] Xi = 0
@R/@e = 0 => Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f )] Yi = 0
@R/@f = 0 => Somme [ Zi – (a Xi^2 + bYi^2 + cXiYi +dXi + eYi + f )] = 0

On note S(U) Somme(Ui)
=>

a . S( X^4) + b. S ((XY)^2) + c . S(X^3.Y ) + d.S(X^3)+e.S(X^2.Y)+f. S(X^2) = S(ZX^2)
a . S( (XY)^2) + b. S (Y^4) + c . S(X.Y^3 ) + d.S(X.Y^3)+e.S(Y^3)+f. S(Y^2) = S(ZY^2)
a . S( X^3Y) + b. S (XY^3) + c . S((XY)^2 ) + d.S(X^2Y)+e.S(XY^2)+f. S(XY) = S(ZXY)
a . S( X^3) + b. S (XY^2) + c . S(X^2.Y ) + d.S(X^2)+e.S(X.Y)+f. S(X) = S(ZX)
a . S( X^2Y) + b. S (Y^3) + c . S(X.Y^2 ) + d.S(XY)+e.S(Y^2)+f. S(Y) = S(ZY)
a . S( X^2) + b. S (Y^2) + c . S(X.Y ) + d.S(X)+e.S(Y)+f. S(1) = S(Z)

Donc
si on note V le vecteur colone ( 6 lignes)
S(ZX^2)
S(ZY^2)
S(ZXY)
S(ZX)
S(ZY)
S(Z)
si on note M la matrice 6X6 SYMETRIQUE dont les coef valent
M11=S( X^4)
M12= S ((XY)^2); M22 = S (Y^4)
M13= S( X^3Y);M23=S (XY^3);M33=S((XY)^2 )
M14=S( X^3);M24=S (XY^2);M34=S(X^2.Y );M44=S(X^2)
M15=S( X^2Y);M25=S (Y^3);M35=S(X.Y^2 );M45=S(XY);M55=S(Y^2)
M16=S( X^2);M26=S (Y^2);M36=S(X.Y );M46=S(X);M56=S(Y);M66=S(1)

alors le vecteur colone ( 6 lignes ) solution A est solution de

M.A = V => A = M^-1*V, système linéaire de kramer 6 équations à 6 inconnues

**progfou** · 27/10/2006, 09h22

Je suis désolé, mais je n'ai pas tout compris...
Je sais que le résultat, appliqué à une image, est relativement simple pourtant...
Je crois qu'il faut passer par la résolution généralisée (sous forme matricielle).
Mais je n'arrive pas à la retrouver.
Le code me semble adapté à un signal 1D, mais je ne vois pas comment l'utiliser en 2D.