Discussion :

[j.p.mignot]

Je dispose à des instants t + n*dt d'un champ vectoriel B(x, y, z, t) dont je sais ( la physique est là) qu'il existe un champ vectoriel A(x, y, z, t) pour lequel B(t) = rot (A(t)). Bien entendu la connaissance est faite que sur des points de type ( x=n1*delta, y=n2*delta, z=n3*delta)

{ les initiés reconnaîtrons immédiatement un problème de magnétisme ! }
Question : comment remonter à une solution A connaissant B ( pas nécessairement unique puisque le rotationel est défini à un gradient près ). Le choix du potentiel scalaire V devra probablement être fait avec les conditions aux limites ( jauge de Lorentz ).

[millie]

Question : comment remonter à une solution B connaissant A ( pas nécessairement unique puisque le rotationel est défini à un gradient près ).

Ce n'est pas plutôt le contraire.

Tes fonctions A et B sont elles connues sur un espace continu ou discret ?

[j.p.mignot]

Evidemment
B=Rot(A)
on connait B on cherche A

<je corrige ma faute de frappe entre A et B>

[millie]

et ma deuxième question : Tes fonctions A et B sont elles connues sur un espace continu ou discret ?

[j.p.mignot]

Le champs B est
1- soit connu en des points discrets ( n*DX, m*DY, p* dZ) ceci pour t= k*dt
2- soit dans certains cas, les affinements par FEM/BEM permettent de calculer des courants équivalents.
cela veut dire qu'il est possible de calculer B(x,y,z) en tout point ( Biot-Savart )
mais derrière cet apparent continuum, il y a la digitalisation des mailles où sont estimées les courants ( FEM, BEM )

[millie]

Je propose une méthode : Ici, j'ai fait une discrétisation de la dérivée partielle d'ordre 1 (mais on pourrait faire d'ordre 2)

Tu peux écrire sous la forme :

A = (a1, a2, a3).

on note : a1dx = a1(x+dx, y, z), a1dy = a1(x, y+dy, z)....

On peut le mettre sous la forme d'un système :

Code :

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(0 0 0 0    1 0 0 -1  -1 0 1 0) (a1)   =  b1
(-1 0 0 1   0 0 0 0   1 -1 0 0) (a1dx)    b2 
(1 0 -1 0  -1 1 0 0   0 0  0 0 ) (a1dy)    b3
                                       (a1dz)        
                                       (a2)
                                         .
                                            .
                                            .

Et en fait, c'est ennuyeux, la matrice n'est pas carré (ce qui est évident puisqu'il y a plusieurs solution). Enfin, ça peut donner une piste

[millie]

Par contre, si on a une solution quelconque D vérifiant D = rot A,

Alors l'espace vectoriel des fonctions f vérifiant f = rot A doivent pouvoir s'écrire sous la forme : f = D + grad phi (ou phi est C^1). Ca peut permettre de déterminer un ensemble quelconque de solution.

Donc en complétant le système précédemment avec des coeff un peu nul pour avoir une matrice carré (il faudrait qu'elle soit inversible). On devrait pouvoir déterminer une solution. Et en génerer d'autres avec le théorème précédent.

[j.p.mignot]

Je n'ai pas du saisir une de vos notations...


B=Rot(A) => en coordonnées cartésiennes,
B= Nabla (vectoriel) A
=>
Bx = @Az/@y-@Ay/@z
By = @Ax/@z-@Az/@x
Bz = @Ay/@x-@Ax/@y

Ceci est vrai pour tout t et je ne vois pas ce que votre "dt" vient faire dans votre proposition
bien entendu B (x,y,z) varie avec t et donc le potentiel vecteur dont il dérive aussi.
quant au choix du potentiel scalaire V il devra faire l'objet d'un choix lié à une jauge ( cette equation ne peut définir A qu'à 1 gradient pret, ce qui est finalement la "constante" d'intégration des équations différentielles)

[millie]

En fait, vous avez mis le point sur une erreur que j'ai fait. Le produit des matrices n'est bonne que si la discrétisation est la même selon x, y et z. Et dans ce cas, le dt correspondant à dx=dy=dz.

Donc, cela signifit que ça ne marche pas du tout si les pas de discrétisation sont différents. Je n'avais pas du tout fait attention, autant pour moi

[Nemerle]

Bonjour, cela remonte à très très loin pour moi, mais le point 4 de

http://artis.imag.fr/Publications/20...es/Annexes.pdf

ne peut-il pas aider? Et sinon, quid d'un bon cours de DESS de math appliqués sur les opérateurs différentiels? Cela ressemble à un classique problème d'inversion...

[j.p.mignot]

Inversion ... si on veut car le système n'est pas inversible en tant que tel!
Il est question de la résolution de 3 fonctions Ax(x,y,z), Ay(x,y,z) et Az(x,y,z)
liées par un système d'équations différentielles partielles.
L'article proposé, basé sur des méthodes d'Euler aux différentielles totales, me semble pas de prime abord l'outils idéal

[Nemerle]

dans ce cas, cela vaut 30$: http://www.iop.org/EJ/article/0266-5...2/ip950512.pdf

[j.p.mignot]

M E R C I !!!
Je n'avais pas repéré cet article que je vais commander dès que j'ai une minute pour me consacrer à sa lecture qui n'est probablement pas aisée.

[Nemerle]

De rien, c'est toujours un plaisir... surtout sur un sujet que je n'utilise plus depuis 15 ans