Discussion :

[fab13]

Bonjour,

j'applique la méthode de runge kutta à l'ordre 2 pour résoudre l'équation différentielle du pendule simple sans frottement. Je la réduit à un système d'ordre 1 comme ceci:

u=d(theta)/dt
du/dt=(g/l)cos(theta)=F(theta,g,l)

avec F la fonction suivante:

Code :

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long double F(long double theta, long double g, long double a)
{ 
  long double r;
 
  r=(g/a)*cosl(theta);
 
  return r;
}

je calcule les coefficients qui sont dans un tableau k[4][4] en prenant comme vecteur : (dt/dt=1,d^2 t/dt^2=0,dtheta_dt,F(theta,g,l)=d^2theta/dt^2)

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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  k[0][0]=h;
  k[0][1]=0;
  k[0][2]=h*dtheta_dt[i];
  k[0][3]=h*F(theta[i],g,l);
 
  k[1][0]=h;
  k[1][1]=h*k[0][1]/2;  
  k[1][2]=h*(dtheta_dt[i]+(k[0][2]/2));
  k[1][3]=h*F((theta[i]+(k[0][3]/2)),g,l);
 
 
 
  k[2][0]=h;
  k[2][1]=h*k[1][1]/2;  
  k[2][2]=h*(dtheta_dt[i]+(k[1][2]/2));
  k[2][3]=h*F((theta[i]+(k[1][3]/2)),g,l); 
 
 
 
  k[3][0]=h;
  k[3][1]=h*k[2][1];
  k[3][2]=h*(dtheta_dt[i]+k[2][2]);
  k[3][3]=h*F((theta[i]+k[2][3]),g,l);

et puis la formule de récurrence :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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  t[i+1]=t[i]+h*((k[0][0]+2*(k[1][0]+k[2][0])+k[3][0])/6);
  theta[i+1]=theta[i]+h*((k[0][2]+2*(k[1][2]+k[2][2])+k[3][2])/6);

Les résultats sont représentés sur les deux graphiques joints. pend.pdf montre le résultat sur 300s (abcisse) et pend2.pdf sur 30s.

Je ne comprends pas pourquoi l'amplitude des oscillations augmente avec le
temps comme c'est montré sur pend.pdf. Est ce lié à l'erreur de la méthode numérique utilisée ? je prends comme conditions initiales t[0]=0,theta[0]=0 et dtheta_dt[0]=0 et h le pas d'incrémentation égal à 0.01. je pense que le calcul des coef est bon.

Je vous remercie d'avance pour toute aide.

[j.p.mignot]

essayez de diminuer h. Un pas d'intégration trop grand conduit presque toujours à ce type de comportement.
Utiliser de préférence RK4 ( on gagne 2 ordres de grandeurs sur la précision)