[Pivot de Gauss] probleme si pivot nul

**jmjmjm** · 30/01/2007, 23h55

Bonjour, je viens de me replonger dans les matrices pour les etudes et j'ai creer un programme en C++ pour faire l'inverse d'une matrice par la methode du pivot de Gauss Jordan. Mon probleme est si une des valeurs de la diagonales est nul, comment contourner ce probleme ? En parcourant les forums il explique qu'il faut chager les lignes ?? mais comment faire pour reussir a transposer les lignes sans faire un autre "trou" dans la diagonale ??

Est ce que cela peut etre fait a n'importe quelle moment ou dois - je inverser les lignes avant tout calcul ??

Merci de votre aide .

**jmjmjm** · 31/01/2007, 16h04

personne n'a de reponse ??

**pseudocode** · 31/01/2007, 16h35

Tu peux permuter les lignes avant chaque etape d'elimination.

Je te conseille meme de les permuter a chaque fois, de maniere a avoir la plus grande valeur (absolue) sur la diagonale. Ca reduit la propagation des erreurs de calculs

**millie** · 31/01/2007, 17h32

C'est ce que je faisais également. Il te faut calculer le maximum pour le pivot.

Dans le cas où cette valeur est nulle, c'est que ta matrice n'était pas inversible.

**jmjmjm** · 01/02/2007, 11h54

Si j'ai bien compris avant chaque etape pour arriver a l'inverse, je cherche la ligne qui aura le maximum et je l'insere à la place de l'ancienne !!

Je peux permutter les lignes a tout moment ?? Par exemple si j'en suis à la troisieme colonne pour les pivots, je peux prendre la premiere ligne alors que ces valeurs ont été modifié ??

**pseudocode** · 01/02/2007, 12h12

Envoyé par jmjmjm

Je peux permutter les lignes a tout moment ?? Par exemple si j'en suis à la troisieme colonne pour les pivots, je peux prendre la premiere ligne alors que ces valeurs ont été modifié ??

Heu.. oui, dans la theorie, tu peux. Mais le but c'est quand meme de diagonaliser ta matrice ! Ca implique de ne pas toucher aux lignes/colonnes a Gauche/au Dessus du pivot actuel.

Donc tu dois permutter ta ligne actuelle avec les lignes qui sont en dessous.

**jmjmjm** · 01/02/2007, 12h33

Je dois donc tester avant si mon pivot n'est pas dans les lignes d'avant avant de commencer mes transpo ! c bien ca ??

**pseudocode** · 01/02/2007, 12h37

Envoyé par jmjmjm

Je dois donc tester avant si mon pivot n'est pas dans les lignes d'avant avant de commencer mes transpo ! c bien ca ??

Hein ? Ton pivot est forcement dans les lignes d'apres.

!

A lire --> Méthode d'élimination de Gauss

**jmjmjm** · 01/02/2007, 12h44

Oui je vois pourquoi tu t'arrache les cheveux avec ma precedente reflexion lol.
En fait j'ai decider de codé precisement ce qui est ds mon cours et dans mon cours l'inversion par pivot ne se fait pas comme cela!!

Tu prend ta matrice Ex 3,3

3 5 6
4 5 3
3 4 7

et tu fais

----------3 5 6 1 0 0
----------4 5 3 0 1 0
----------3 4 7 0 0 1
1/3 0 0
-4/3 1 0
-1 0 0

As tu deja vu ce genre de proceder ??
tu prend pour ta colonne n
pour l'enplacement du pivot 1/pivot
pour les autres - la valeur / pivot

pour une matrcie de taille 3*3 , j'ai donc trois transpo pivot (1,1) (2,2) et (3,3)

vois tu ce que je veux dire si non , je te montrerai un exemple complet

**pseudocode** · 01/02/2007, 13h48

Envoyé par jmjmjm

As tu deja vu ce genre de proceder ??

C'est exactement ce qui est ecrit dans le PDF que j'ai indiqué:

Au lieu d’annuler uniquement les termes situés sous le pivot, on va annuler les termes au-dessous et au-dessus du pivot. On obtient ainsi une matrice D diagonale

Ca n'empeche qu'il faut utiliser les pivots dans l'ordre en partant de (1,1) jusqu'a (n,n). Si a une des etapes, tu as ton pivot (i,i) qui est nul, tu echange la ligne "i" avec une des lignes "j", ou "j" est supérieur a "i".

**jmjmjm** · 01/02/2007, 14h02

je ne comprend pas bien par exemple si j'ai cette matrice à inverser :

[ 1 0 5 0 ]
[ 5 9 0 2 ]
[ 9 0 0 0 ]
[ 5 6 0 6 ]

Mais deux dernier pivot son nul alors en arrivant a l'etape 3, je ne peux pas inverser la ligne 3 avec la ligne 4, mon pivot sera nul quand meme !!
Vois tu ce que je veux dire ??
J'ai peut etre mal compris

**pseudocode** · 01/02/2007, 14h08

Envoyé par jmjmjm

Mes deux dernier pivot son nul alors en arrivant a l'etape 3

Qu'est-ce que tu obtiens comme matrice a l'etape 3 ?

**jmjmjm** · 01/02/2007, 14h14

en fait dans notre methode que je te parlais tout a l'heure on additionne pas les lignes ou les soustraits ...
on fait des multiplication entre la matrice identité avec le pivot et la matrice a inversé

**jmjmjm** · 01/02/2007, 14h22

Connais tu le C++ ?? Si oui je te passe l'algo que j'ai deja fait et tu verras ma methode et tu me diras ce que tu en pense !!

**pseudocode** · 01/02/2007, 14h29

Bon, on va faire l'algo a la main avec une matrice simple:

[ 1 0 5 ]
[ 5 9 0 ]
[ 9 0 0 ]

Tout d'abord, on lui colle la matrice identité:

[ 1 0 5 | 1 0 0 ]
[ 5 9 0 | 0 1 0 ]
[ 9 0 0 | 0 0 1 ]

******* Etape 1: le pivot est (1,1) *******

* Etape 1.a: Echanger la ligne 1 avec une des lignes suivantes pour avoir le plus grand pivot
L3 <-> L1

[ 9 0 0 | 0 0 1 ]
[ 5 9 0 | 0 1 0 ]
[ 1 0 5 | 1 0 0 ]

* Etape 1.b: normalisation de la ligne du pivot et elimination des autres lignes par soustraction
L1' = L1/9
L2' = L2-(5/9)*L1 = L2-5*L1'
L3' = L3-(1/9)*L1 = L3-1*L1'

[ 1 0 0 | 0 0 1/9 ]
[ 0 9 0 | 0 1 -5/9 ]
[ 0 0 5 | 1 0 -1/9 ]

******* Etape 2: le pivot est (2,2) *******

on recommence...

******* Etape 3: le pivot est (3,3) *******

voila on a fini.

A gauche on a la matrice identité, et a droite la matrice inverse

**jmjmjm** · 01/02/2007, 14h37

moi on ma appris comme ca :
http://jeremy45190.info/Gauss.doc

j'ai fait un texte vite fait regarde stp et dis moi si tu connais le principe

**jmjmjm** · 01/02/2007, 14h43

Je ne suis pas un expert en matrice, je dirais meme que je debute mais a premier e vue ta methode fait faire plus de calcul donc plus de risque d'erreur non ??

**pseudocode** · 01/02/2007, 15h04

Envoyé par jmjmjm

j'ai fait un texte vite fait regarde stp et dis moi si tu connais le principe

C'est exactement le meme algo, avec les memes formules et dans le meme ordre. Je ne vois strictement aucune difference.

Envoyé par jmjmjm

Je ne suis pas un expert en matrice, je dirais meme que je debute mais a premier e vue ta methode fait faire plus de calcul donc plus de risque d'erreur non ??

Bah vu que c'est le meme algo, on a le meme nombre/type d'operations: o(n^3)

**jmjmjm** · 01/02/2007, 15h09

oui, je viens de comprendre que les operations que tu fais sur les lignes sont celles que je fais avec ma multiplication

Donc en faite a chaque fois tu choisis le pivot le plus important ???
c bien ca ??
mais tu ne peux pas prendre une ligne que tu as deja utilisé !!
j'ai compris ??