Discussion :

[solence]

Bonjour!
J'ai un exercice de math à faire sur les suites mais j'ai vraiment du mal
Soit (Un) la suite définie sur N par Un=(sin n-n)/(2+racine de n)
Démontrer que, que pour tout entier n on a: Un plus petit ou égal à -(racine de n)+2. En déduire la limite de la suite (Un)
Le problème c'est que je c'est pas par où commencer est-ce que je dois décomposé Un ou je dois faire autrement.
Merci d'avance

[millie]

Tu sais que sin n est borné (entre -1 et 1 jusqu'à preuve du contraire !). Et ça suffit :

Pars donc de : -1 < sin n
et de sin n < 1
Pour déterminer un majorant et un minorant à ta suite

[Melem]

C'est que tu n'as certainement pas bien compri le principe de démonstration par récurrence qui est pourtant très simple :

Si proposition P(n) est vraie pour tout n >= n0 c'est que :
- P(n0) est vraie
- P(n0 + 1) est vraie
- P(n0 + 2) est vraie
- etc.

Donc pour démontrer qu'une proposition P(n) est vraie pour tout n >= n0, il suffit de :
- Vérifier que P(n0) est vrai
- Montrer que pour n'importe quel n >= n0, P(n + 1) est vraie. //Et si P(n + 1) est vraie alors P((n + 1) + 1) est vraie et ainsi de suite

Exemple:
U(0) = 0
U(n) = n + U(n - 1)

Montrer que pour tout n >= 0, U(n) <= n au carré
/* La proposition P(n) est donc : U(n) <= n au carré */

On vérifie facilement que U(0) <= 0

Puis nous avons U(n + 1) = n + 1 + U(n). Montrons alors que pour tout n >= 0 , n + 1 + U(n) <= (n + 1) au carré

Comme U(n) <= n au carré //C'est l'hypothèse
n + 1 + U(n) <= n + 1 + (n au carré)
U(n + 1) <= n + 1 + (n au carré)

Donc U(n + 1) <= (n + 1) au carré car en effet
(n + 1) au carré = n au carré + 2n + 1
Et n + 1 + n au carré < 2n + 1 + n au carré

CQFD