Discussion :

[tlemcenvisit]

Salut
J'ai cette équation :
p=x.cos(A)+y.sin(A)
je cherche à avoir l'expression donnant A en fonction de x,y et p
Quelqu'un a une idée?

[mathieu_t]

Je pense pas que l'on puisse résoudre directement cette équation...
C'est plutôt un genre d'optimisation non linéaire... Moi je chercherais de ce côté...

A+

[Médiat]

Si x=y=0 pas de problème, sinon :

p/racine(x²+y²) = x/racine(x²+y²).cos(A) + y/racine(x²+y²).sin(a)

Il existe un nombre B (modulo 2 pi) tel que
x/racine(x²+y²) = cos(B)
et
y/racine(x²+y²) = sin(B)

(c'est garanti puisque la somme des carrés = 1)
l'équation devient :
p/racine(x²+y²) = cos(B)cos(A) + sin(B)sin(A)
soit
p/racine(x²+y²) = cos(B-A), le reste est facile, mais attention aux domaines.

[mathieu_t]

Ah ah !!

Bien vu.... Ouh là c'est loin les maths où il fallait résoudre des équations intelligemment...

[tlemcenvisit]

En fait, si j'arrive à avoir cos(A) et sin(A) en fonction du reste, mon problème est réglé.
Est-ce que pour faire ceci il faut obligatoirement remplacer sin(A) par racine(1-cos²(A))?
Merci d'avance

[progfou]

Si tu as une TI-89 tu peux toujours taper cette équation dans un solve en cherchant A .

[tlemcenvisit]

je cherche à automatiser la résolution par un programme

[Wavyx]

ben justement la TI (si elle y arrive) devrait te donner une expression de A en fonction du reste. Donc ce que tu as besoin.

[mathieu_t]

Je comprends pas ton problème : Médiat t'a donné une réponse satisfaisante, c'est pas interdit dans ton programme de faire attention aux donaines et de donner les solutions en fonction...

Sinon si tu remplaces sin(A) par racine(1-cos²(A)), ça te donne

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

p=x.cos(A)+y.racine(1-cos²(A))

soit

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

racine(1-cos²(A)) = p - x.cos(A)

soit

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1-cos²(A) = (p - x.cos(A))²

soit

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1-cos²(A) = p² -2.p.x.cos(A) + x².cos²(A)

En posant X = cos(A), ça devient une équation du second degré à resoudre...

Attention néanmoins dans le raisonnement:
1 - sin(A) peut aussi valoir -racine(1-cos²(A)) -> il faut envisager les 2 cas
2 - le raisonnement qui suit n'est pas une équivalence, mais une conséquence. Il faut donc vérifier que les solutions que tu trouves son solutions de ton équation.

A+

[tlemcenvisit]

C'est vraiment la seule solution?
J'aimerai bien savoir ce que c'est que le TI

[mathieu_t]

LA (et non le) TI, c'est la Texas Instrument 89, une calculatrice quoi...
Elle permet de faire du calcul formel, ce qui est bien pratique pendant les études

J'ai essayé justement avec la mienne mais je l'ai arrêté au bout de 15 min qu'elle était sur 'busy' car je pense pas qu'elle trouvera de solution, c'est pas le genre d'équation classique, c'est plutôt à l'humain de se pencher dessus...

Et je vois pas ce qui te dérange, ce qui t'a été donné fonctionne, c'est un vrai raisonnement mathématique sans approximations... Si tu obtiens des solutions alors ce seront les vraies solutions (approximées évidemment par le fait que l'ordi soit un outil numérique qui ne peut pas aller au delà d'un certain nombre après la virgule).

[EDIT]
Peut-être que tu attendais UNE unique solution, mais déjà une telle équation appelle sans doute à plusieurs solutions...
A+

[progfou]

Si tu connais, essaie de passer par euler à la limite (j'ai pas essayé), mais c'est pas simple à mon avis, et la solution donnée par Médiat me parait judicieuse.

[tlemcenvisit]

Je reprend l'équation de Médiat :
p/racine(x²+y²) = x/racine(x²+y²).cos(A) + y/racine(x²+y²).sin(A)
Soient X,Y et Z trois réels tels que :
X=x/racine(x²+y²)
Y=y/racine(x²+y²)
Z=p/racine(x²+y²)
on a X²+Y²=1
l'équation devient :
Z=X.cos(A)+Y.sin(A)
d'où
Z-X.cos(A)=Y.sin(A)
donc
(Z-X.cos(A))²=Y²sin²(A)
soit
(Z-X.cos(A))²=Y²(1-cos²(A))
d'où :
Z²+X²cos²(A)-2*Z*X*cos(A)=Y²-Y²cos²(A)
(X²+Y²)cos²(A)-2*Z*X*cos(A)+Z²-Y²=0
cos²(A)-2*Z*X*cos(A)+Z²-Y²=0
dét= Z²X²-Z²+Y²
= Z²(X²-1)+Y²
= Z²(-Y²)+Y²
= Y²(1-Z²)
dét>=0 ==> 1-Z²>=0 ==> Z²<=1 ==> p²<x²+y²
dans ce cas :
1)cos(A)=(Z.X+Y.rac(1-Z²))=(xp+y.rac(x²+y²-p²))/(x²+y²)
ou
2)cos(A)=(Z.X-Y.rac(1-Z²))=(xp-y.rac(x²+y²-p²))/(x²+y²)

C'est là où j'en suis
Mais je pense qu'il y a plus simple

[progfou]

Attention aux domaines !

[Loran]

Salut
J'ai cette équation :
p=x.cos(A)+y.sin(A)
je cherche à avoir l'expression donnant A en fonction de x,y et p
Quelqu'un a une idée?

En posant A = 2a et en utilisant les formules

cos 2x = 2tan x / (1+ tan² x)
et
sin 2x = (1 - tan² x) / (1 + tan² x)

A voir si ça marche mieux !

Cordialement
Loran

[Médiat]

Pourquoi vous compliquer la vie ? A partir de

p/racine(x²+y²) = cos(B-A) (et sans me préoccuper des domaines) :

B-A = arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
B-A = - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

cad :

A = B - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
A = B + arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

[Edit]Corrigé suite à la remarque de ceugniet [/Edit]

[j.p.mignot]

p=x.cos(A)+y.sin(A)
passer par la tangente de l'arc moitié
si t = tangen( A/2)
alors


sin(A) = 2t/ ( 1+t^2)
cos(A) = (1-t^2)/ (1+t^2)

l'equation en t devient

p*( 1+t^2) = 2t + 1-t^2

soit
t^2 * (p+1) -2 t + p -1 = 0

equation du 2eme degre triviale qui donne t donc tangente ( A/2)
d'où A


Note C'est la solution que voulais suggerer Loran mais ATTENTION :
il a confondu les expression de sin et cos avec t ce qui bien entendu conduit à un résultat totalement faux.

[Médiat]

t^2 * (p+1) -2 t + p -1 = 0
Note C'est la solution que voulais suggerer Loran mais ATTENTION :
il a confondu les expression de sin et cos avec t ce qui bien entendu conduit à un résultat totalement faux.

Tu as oublié x et y.

[ceugniet]

Pourquoi vous compliquer la vie ? A partir de

p/racine(x²+y²) = cos(B-A) (et sans me préoccuper des domaines) :

B-A = arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
B-A = pi - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

cad :

A = B - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
A = B - pi + arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

La première partie de ta solution était parfaite. Mais ici, tu te trompes.
Les solutions de p/racine(x²+y²) = cos(B-A) sont :
B-A = arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
B-A = - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

p=x.cos(A)+y.sin(A)

En posant X = cos(A) et Y = sin(A). Dans un repère orthonormé, X et Y sont les coordonnées d’un point du cercle de centre O et de rayon 1, dont l’équation est X^2+Y^2=1.

p=x.X+y.Y

indique que X et Y sont aussi des points de la droite d’équation p=x.X+y.Y

Si tlemcenvisit n’aime pas la trigo, il peut simplement résoudre le système :

p=x.X+y.Y
X^2+Y^2=1

Mais la solution de Médiat est bien plus cool (en corrigeant la fin)

[Médiat]

Les solutions de p/racine(x²+y²) = cos(B-A) sont :
B-A = arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]
ou
B-A = - arcos(p/racine(x²+y²)) [2 pi]

Oops : je corrige