Discussion :

[DrTopos]

Si seulement je pouvais en être aussi convaincu que toi .Mais je meurs de peur de ne pas être à la hauteur des études, je ne suis pas vraiment une lumière en math même si j'aime beaucoup ...

Faire des maths c'est surtout une façon de penser. Je crois qu'en dehors du plaisir (indispensable car c'est le carburant; les maths demandent un effort de concentration impossible à atteindre sans le facteur plaisir), il y a surtout le soucis constant du détail. En maths on ne peut pas faire dans l'à peu près, surtout parce qu'on ne peut pas juger a priori de l'importance d'un détail. Une toute petite chose insignifiante peut être le germe d'une immense théorie.

Je reste convaincu que si ces deux conditions sont réunies: plaisir + soucis du détail, on peut faire des maths même en s'y prenant tard. J'ai vu des étudiants se révéler subitement quel que soit le niveau, simplement parce qu'ils avaient abandonné l'idée que les maths sont un outil (donc un mal nécessaire) et adopté le point de vue ludique. Il est vrai que dans l'enseignement des maths (dans le secondaire comme dans le supérieur) un grand nombre de mes chers collègues hélas, n'ont toujours pas compris que les maths ne sont qu'un jeu. Ils ont dégoûté des générations d'élèves et d'étudiants en répétant qu'il fallait faire de maths pour faire de la physique, de l'informatique ou je ne sais quoi encore. Manque total de psychologie, et sans doute aussi manque de plaisir dans leurs propres études.

Maintenant, comment tester son aptitude à entrer dans ce jeu là ? C'est difficile évidemment, mais le révélateur peut être un bon bouquin, pas un bouquin spécifique à l'enseignement, qui en général est dans l'esprit ``utilitaire'', mais un bouquin sur un sujet précis écrit par un spécialiste. En cherchant dans les oeuvres de Gustave Choquet, Jean Dieudonné, Serge Lang, Ian Stewart, Pierre Samuel, Roger Godement, et même Nicolas Bourbaki, tu trouveras peut-être ton bonheur.

Bonne chance.

[Évariste Galois]

J'ai déja entendut parler de certains noms que tu cite la, mais je n'ai jamais lue aucune de leurs oeuvres.
Je vais faire quelques recherches ...

merci !

[Nemerle]

En cherchant dans les oeuvres de Gustave Choquet, Jean Dieudonné, Serge Lang, Ian Stewart, Pierre Samuel, Roger Godement, et même Nicolas Bourbaki, tu trouveras peut-être ton bonheur.
Bonne chance.

Et bien dit-moi, c'est de superbes livres avec lesquels j'ai commencé ma formation il y a 20 ans, mais franchement: il faudrait conseiller des bouquins plus récents... Non pas que les vieilles maths sont "fausses" , mais plutôt que ça a tellement avancé que les concepts "importants", les points de vue, sont "nouveaux". Et surtout: le style!! Bourbaki a beaux être bien, on a pas comme de nos jours à chaque chapitre plusieurs pages d'intro motivant le chapitre, présentant rapidement les concepts et les liant avec d'autres theories...

Prendre le bourbaki sur la théorie des algèbres de Lie par exemple est bien... mais prendre par exemple le pendant de David Vogan Jr est mille fois mieux: passionnant, au fil des chapitres on assiste à l'interconnection de cette théorie avec de "grands" sujets résolus (Fermat par exemple). Mais oui, malheureusement c'est en anglais...

L'avancée des maths est telle que conceptuellement un "ancien" mathématicien ayant arrêté 20 ans par exemple aurait (mais pourrait) bien du mal à "assimiler" les derniers concepts et interconnections théoriques.

Par exemple, il n'y a que quelques personnes dans le monde (vraiment!!) qui comprennent vraiment le "programme de Langlands".

Donc commencer avec les papys des maths: non. Y venir plus tard: bien sûr!

Comme exemple, un cours de proba vif&moderne? --> G. Tennenbaum.

[DrTopos]

Et bien dit-moi, c'est de superbes livres avec lesquels j'ai commencé ma formation il y a 20 ans...

Moi, c'était il y a 40 ans... ! Peut-être, dois-je aussi être catalogué dans les papys. Enfin, comme tu le dis, ce sont de superbes livres, et ce qu'il contiennent n'est pas faux. Me voila rassuré. Ceci dit, Godement a beau être agé, il a écrit récemment un cours d'analyse qui a un franc succès. Comme quoi certains papys sont encore dans la course. Et puis, Ian Stewart, lui n'est pas encore un papy que je sache. Bien sûr, il y a du nouveau, et j'avoue ne pas bien le connaître, consacrant depuis maintenant presque 20 ans mon énergie à la logique et la théorie des topos (et à l'informatique qu'on peut en tirer).

Je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis sur les intros. Dans Dieudonné et dans Bourbaki, il y a des intros et des notes historiques qui sont très motivantes.

Je suis bien d'accord que l'avancée des maths est fulgurante, et qu'on est vite largué quand on quitte le peloton. Je m'en suis rendu compte à mes dépends. Il y a 20 ans j'étais en pointe en topologie algébrique, et aujourd'hui je suis distancé (pour ne pas dire largué). Je ne connais pas Vogan Jr, mais je jetterai un coup d'oeil. D'ailleurs, je n'ai pas tellement envie de regarder des bouquins récents sur des sujets que je connais, et sur lesquels j'ai longtemps travaillé. Je préfère taper dans des sujets que je ne connais pas. Ces deux dernières années je n'ai acheté que des bouquins de physique théorique récents (cordes, boucles, etc...), que j'ai d'ailleurs beaucoup de mal à lire.

Ceci dit, pour ce qui est de la modernité, si j'avais le choix de ce que j'enseigne à la fac, y compris dans les premières années, je ferais de la théorie des catégories sans hésiter. Le produit tensoriel comme adjoint à gauche de 'Hom', n'est-ce pas plus merveilleux et conceptuellement beaucoup plus éclairant que ce qu'on trouve dans les livres que j'ai cités. Quand je fais un cours de première année, je commence toujours par une semaine de logique, mais pas de logique à papy, de logique catégorique, sans toutefois utiliser de vocabulaire savant. Il y a des foncteurs adjoints, mais l'expression ``foncteur adjoint'' n'est jamais prononcée. Cela va faire maintenant presque 10 ans que je procède ainsi, et les résultats sont là. Les étudiants comprennent mieux ce que ``démontrer'' veut dire. Tout simplement, parce que c'est une vision behavioriste de la logique.

Pour en revenir au conseil que j'ai donné à Evariste, il peut très bien choisir d'autres bouquins, il n'a qu'à chercher un peu. Ce que je voulais surtout dire c'est qu'il vaut mieux éviter les livres qui suivent des programmes officiels et chercher dans les livres qui exposent des sujets mathématiques. Sur ce point j'espère qu'on est d'accord. Je n'allais quand même pas lui proposer ``Sheaves in Geometry and Logic'' de MacLane et Moerdijk, (MacLane est un papy (mort cette année), mais Moerdijk est un jeune et le bouquin est assez récent: 1992) encore que je me souvient l'avoir conseillé il y a quelques temps à un étudiant de deuxième année.

Pour moi, la révélation est venue avec Bourbaki. J'étais en classe de seconde. Mon père qui ne connaissait rien aux maths, passe un jour devant la librairie Hermann et voit des volumes de Bourbaki dans la vitrine. Il s'est dit ``tiens ça pourrait intéresser mon fils''. Il est revenu à la maison avec 20 volumes ! Voila comment tout a commencé. J'avoue que j'ai eu du mal au début, mais c'était tellement passionnant, comparé à ce qu'on faisait au lycée.

Au plaisir.

[Nemerle]

tu prêches un convaincu: je suis algebriste. Auand j'enseignai à la fac, mon premier exercice en licence était, après avoir défini la notion de suite exactes+propriétés de base, le "snake lemna".

Je te conseille comme beau résultat des catégories la dualité de Tanaka-Krein... qu'on peut appliquer aux groupes quantiques, pendant catégoriel du concept de groupe. Ou encore et lié aux groupes quantiques, toutes applications des algèbres de Hopf en géométrie non commutative...

Pour mémoire, quand je "cherchais" en pologne, j'ai appris que le language des catégories là-bas commence à s'étudier.... en premiere année de fac!

Quand aux introductions bourbakistes, oui elles existent, mais encore une fois: vétustes, plus trop raccordées à la conscience actuelle Mais bien sur, une mine!

(David Vogan Jr: "Representation Theory of Lie Groups")

BON, j'arrête définitivement là, ce n'est pas un forum de matheux!!

[DrTopos]

Merci pour les références.

[Matthieu Brucher]

L'algèbre... Il fut un temps où c'était le domaine où je réussissais le mieux en maths... Nostalgie, nostalgie...

[Évariste Galois]

Moi je préfère l'analyse

[Nemerle]

Moi je préfère l'analyse

de toute façon, tu seras obligé d'y passer

[DrTopos]

Préférer l'algèbre ou l'analyse me semble être une fausse question. Quand j'étais jeune je n'aimais pas trop l'analyse. Depuis j'en ai compris la raison. L'analyse que je faisais à cette époque n'était pas faite très proprement (c'était aussi de ma faute d'ailleurs). Par la suite, étant obligé de l'enseigner, j'ai fini par faire de l'analyse propre, et j'ai découvert qu'il y a en analyse des sujets très enthousiasmants comme par exemple la théorie de Hille-Yosida, les espaces localement convexes, etc....

Ce qui est fascinant aussi, c'est le mélange des disciplines, par exemple, l'algèbre et la topologie en topologie algébrique, et même l'algèbre la topologie et l'analyse en théorie des courants (analyse sur les variétés différentiable). D'ailleurs, la physique fondamentale actuelle fait un grand usage des ces ``mélanges''.

Je crois que le bon réflexe consiste à se dire que quand quelquechose ne nous plait pas en maths, c'est qu'on ne l'a pas bien compris. Il faut aller dans les détails pour apprécier les maths. Comment peut-on apprécier un joli coup aux échecs si on n'en comprend pas tous les rouages ?

[Évariste Galois]

Mais je n'ai jamais dit que l'algèbre ne me plaisait pas moi (si ça avait été le cas je n'aurais pas envisagé des études de math)
Tout ce qui concerne les math me plait et m'amuse.

C'est juste que l'analyse, c'est ce que je trouve de plus beau (ne fut-ce que le signe d'intégration, ce beau "S", est sublime )

[DrTopos]

Ce n'est pas à ce genre de beauté que je pensais (même si je l'apprécie aussi, surtout quand les textes sont superbement formatés par LaTeX, ou quand je suis au tableau ou je fais toujours attention à cet aspect des choses). Non, je pensais à une beauté abstraite, la beauté de la construction, qu'on peut retrouver aussi en musique et en architecture. Tu prends un prélude de Bach, c'est beau quel que soit l'instrument que tu utilises pour le jouer. En maths c'est pareil, c'est le raisonnement qui est beau.

[Évariste Galois]

Oui le raisonnement, et moi c'est surtout les concepts en eux même que je trouve beau
Une dérivée, une intégrale c'est beau. De voir ce que c'est, à quoi ça sert, et à quel point c'est complexe. C'est ça que je trouve merveilleux.

Et aussi de se demander comment des génies sont parvenus à mettre des choses pareils au point. C'est fou de se dire que des humains sont arrivés à concevoir quelque chose d'aussi complexe que le calcul différentiel et intégrale ...

[Pascal Jankowski]

Pour apprécier, la beauté des mathématiques, il faut les avoir pratiqués longuement, tout comme la musique, la peinture voire même le développement informatique. On ne peut se dire apprécier avant tout la beauté pour comprendre et progresser. Il faut aussi passer par des tâches rébarbatives, revenir dessus, se donner les moyens de les dompter. Et là, seuleument à partir de ce moment, on peut commencer à apprécier la beauté des concepts que l'on a apprivoisé. C'est à mon sens la beauté de l'Artisanat.

L'apprentissage est bien souvent difficile, car il faut se poser sur chaque problème tel un papillon avec les pâtes endolories, pour mieux en apprécier les angles et en souligner les contours, pour parvenir un jour à se l'approprier. Et réitérer sans cesse le processus, jusqu'à ...

Bref, tout cela pour dire que pour apprécier la beauté d'un raisonnement mathématique, il faut avant tout une grande pratique du raisonnement mathématique.

[Pascal Jankowski]

Oui le raisonnement, et moi c'est surtout les concepts en eux même que je trouve beau
Une dérivée, une intégrale c'est beau. De voir ce que c'est, à quoi ça sert, et à quel point c'est complexe. C'est ça que je trouve merveilleux.

Et aussi de se demander comment des génies sont parvenus à mettre des choses pareils au point. C'est fou de se dire que des humains sont arrivés à concevoir quelque chose d'aussi complexe que le calcul différentiel et intégrale ...

Interesse toi à l'histoire des mathématiques. Tu peux trouver de la documentation dans l'un des 23 Irem en France. Par exemple, la naissance des probabilités, due à une correspondance entre Pascal et le Chevalier de Méré. Puis ensuite, interesse toi au écrits de François Viète qui est le père de "la formalisation des mathématiques". Voire encore l'extraordinaire et si courte vie, mais combien riche d'Evariste Galois.

C'est vrai que ces thèmes, ne sont pas importants et jamais abordés lors de la scolarité mais ils peuvent constituer une base fondamentale pour la découverte des mathématiques.

[DrTopos]

Pour apprécier, la beauté des Mathématiques, il faut les avoir pratiqués longuement, tout comme la musique, la peinture voire même le développement informatique.

C'est sûrement vrai pour les maths, mais heureusement pas pour la musique et la peinture, qu'on peut apprécier sans rien y connaitre. Je ne connais rien à la peinture (dans le sens où je n'ai jamais peint), mais je peux passer des heures devant des tableaux, alors que le plus beau bouquin de maths du monde reste une incongruité pour qui n'a jamais pratiqué. Pour le développement informatique, je pense que c'est différent, car il y a le verdict de la machine. Qu'est ce qui est beau, le développement en soi (les fichiers sources), ou le beau logiciel qui marche bien ?

Il faut aussi passer par des tâches rébarbatives, ...

Ca c'est bien vrai. Qu'est ce que je me suis tapé comme calculs avant de pouvoir pondre une thèse !

Bref, tout cela pour dire que pour apprécier la beauté d'un raisonnement Mathématique, il faut avant tout une grande pratique du raisonnement Mathématique.

Au risque d'avoir l'air de me contredire dans le même message, je voudrai nuancer un peu. J'ai vu très souvent des étudiants apprécier de beaux raisonnements, alors qu'ils n'en avaient pratiquement jamais fait.

Je suis d'accord bien sûr que tout cela ne va pas sans une bonne dose de travail laborieux, mais qui n'est pas non plus exempt de plaisir.

Pourquoi mets-tu un M majuscule à Mathématiques :

Cordialement.

[Pascal Jankowski]

C'est sûrement vrai pour les maths, mais heureusement pas pour la musique et la peinture, qu'on peut apprécier sans rien y connaitre.

Je pensais avant tout à la pratique. On peut simplement apprécier la musique en l'écoutant, mais se mettre au piano et jouer constitue également un plaisir qui aura nécessité quelques années de pratique.

Pourquoi mets-tu un M majuscule à Mathématiques :

Je ne sais pas...

[Nemerle]

Maître Yoda a dit: "comme Poincaré, un grand M à Mathématiques tu mettras".

[Évariste Galois]

Interesse toi à l'histoire des mathématiques

C'est bien dans mes intentions. Pour le momentje suis en plein occupé à me demander quoi entreprendre comme étude (et je pense que ce sera de l'informatique car vraiment, math je n'ai pas le courage...) et occupé à revoir toutes mes math de terminale, mais ça va venire ...

Pour apprécier, la beauté des mathématiques, il faut les avoir pratiqués longuement, tout comme la musique, la peinture voire même le développement informatique. On ne peut se dire apprécier avant tout la beauté pour comprendre et progresser. Il faut aussi passer par des tâches rébarbatives, revenir dessus, se donner les moyens de les dompter. Et là, seuleument à partir de ce moment, on peut commencer à apprécier la beauté des concepts que l'on a apprivoisé. C'est à mon sens la beauté de l'Artisanat.

L'apprentissage est bien souvent difficile, car il faut se poser sur chaque problème tel un papillon avec les pâtes endolories, pour mieux en apprécier les angles et en souligner les contours, pour parvenir un jour à se l'approprier. Et réitérer sans cesse le processus, jusqu'à ...

Bref, tout cela pour dire que pour apprécier la beauté d'un raisonnement mathématique, il faut avant tout une grande pratique du raisonnement mathématique.

En effet, si on n'a jamais étudié les mathémtiques, on peut difficilement les trouver jolies, ça me semble normal
Moi quoi qu'il en soit j'en ai déja fait suffisament pour m'exstasier devant les prodigieux concepts mathématiques (pas uniquement de l'analyse ...)