Les polynômes de Laguerre

**prologO** · 14/12/2007, 10h08

bonjour à tous.

je veut programmer une fonction L(n) qui calcule les coefficients du polynôme de Laguerre d'ordre n puis je calcule les raçines de ces polynôme(de degré n ou n+1).

Le problème est que les polynômes de Laguerre sont définies de plusieurs façons:
les polynômes de Laguerre L_n(x)
1- sont les solutions de l'équation différentielle :

Code :

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x*[L_n(x)]''+(1-x)*[L_n(x)]'+n*[L_n(x)]=0

2- vérifient la formule dit de Rodriguez :

Code :

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L_n(x)=(1/n!)*exp(x)* Dn(exp(-x)*x^n)     ...avec Dn est la dérivée. n-ième

3- vérifient l'équation :

Code :

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1
2
 
[IMG]http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcbbd9b0bf7147e8bdc2c52e2520c5da.png[/IMG]

(d'aprés wikipedia).

alors je suis un débutant en matlab, et je cherche à programmer ces polynômes de Laguerre par un script petit et efficace.

Aidez moi quel formule je doit utiliser , pourqoui , et comment je le programme.

Merci d'avance.

NB:mon bute final et de calculer les raçines de ces polynômes.( roots)

**prologO** · 14/12/2007, 10h23

J'ai essayé de les programmer par la 1er formule ( solution d'équa diff) en utilisant la fonction

Code :

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dsolve

mais mathématiquement une équa. diff. a une infinité de solutions à cause des constants de l'intégration.
et moi je cherche une seul solution pour certain valeurs des ces constants.

par exemple
si

Code :

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expr1=c1*expr2+ c2 ( avec c1 et c2 des constants)

alors je veut que

Code :

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c1 soit =1 et c2 soit =2

+++++

apparement la deuxième formule( de Rodriguez )est la plus facile si il ya une fonction qui calcule la dérivé d'ordre n d'une expression.

**FR119492** · 14/12/2007, 14h29

Salut !

En préambule, je hais les polynômes. Je sais bien qu'ils font partie de tous les programmes de mathématiques. A première vue, ils semblent être des fonctions sympathiques: continues et indéfiniment dérivables. En réalité, dès qu'on doit faire du calcul numérique, on s'aperçoit vite que ce sont des "sales bêtes" qui vous font les pires ennuis dès qu'on cherche à calculer leurs zéros ou à les utiliser pour interpoler une fonction.

Cela étant, si on ta ordonné, sous la menace des pires sévices, de produire les zéros de polynômes de Laguerre, je te proposes tout d'abord de regarder dans l'ouvrage de M. Abramowitz et I. Stegun "Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables" (que je n'ai malheureusement pas sous la main en ce moment). Tu y trouveras en tout cas les coefficients des premiers (12 ?) polynômes de Laguerre. Je ne me souviens plus si leurs zéros s'y trouvent aussi.

Si tu veux aller plus loin que le douzième, utilise la formule de récurrence que tu as donnée sous le chiffre 3- dans ton premier message. Quant à trouver les zéros, c'est à tes risques et périls.

Bonne chance.
Jean-Marc Blanc

**prologO** · 14/12/2007, 16h42

Envoyé par FR119492

Salut !

M. Abramowitz et I. Stegun "Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables

il ya un version enligne et gratuit de ce livre.
il donne les coefficient et les zéros de polynomes orthonogaux( Tchebchev , Laguerre , Legendre...) pour n<=5 ou 7

Si tu veux aller plus loin que le douzième, utilise la formule de récurrence que tu as donnée sous le chiffre 3- dans ton premier message. Quant à trouver les zéros, c'est à tes risques et périls.

justement pour la 3ème formule ,risque de division par zéro.