Discussion :

[Alp]

Bonsoir,

Un ami à moi a une conjecture sur une propriété de l'inverse d'une matrice de Hilbert.

En effet, il a vérifié que pour les dimensions 2, 3, 4, 5 et 6, la somme des coefficiens de l'inverse de la matrice de Hilbert vaut respectivement 4, 9, 16, 25 et 36.

Donc la somme sur i,j des coefficients de cette matrice vaut n², visiblement.

J'ai trouvé l'expression générale de l'inverse de la matrice de Hilbert, mais aucune démonstration. Et nullepart nous ne trouvons la propriété dont je vous parle.

Quelqu'un en saurait plus, que ce soit sur le calcul de l'inverse ou sur cette fameuse potentielle propriété ?

[c-candide]

Bonsoir,

Un ami à moi a une conjecture sur une propriété de l'inverse d'une matrice de Hilbert.

En effet, il a vérifié que pour les dimensions 2, 3, 4, 5 et 6, la somme des coefficiens de l'inverse de la matrice de Hilbert vaut respectivement 4, 9, 16, 25 et 36.

Donc la somme sur i,j des coefficients de cette matrice vaut n², visiblement.

J'ai trouvé l'expression générale de l'inverse de la matrice de Hilbert, mais aucune démonstration. Et nullepart nous ne trouvons la propriété dont je vous parle.

Quelqu'un en saurait plus, que ce soit sur le calcul de l'inverse ou sur cette fameuse potentielle propriété ?

Ça doit être classique. Ce que je n'essayerais pas : calculer H^{-1}. Ce que j'essayerais :
soit U le vecteur colonne dont tous les coefficients valent 1. Ce qu'on cherche c'est le produit scalaire S = <H^{-1}U | U >. Je poserais V=H^{-1}U en sorte que S = <V | HV >.

Or ça c'est calculable car H est une matrice de Gram pour le produit scalaire f -> int_0^1 t^{k-1}dt et la base canonique. Après, je suppose que si on se retrousse un peu les manches, ça devrait sortir. Si ça ne marche pas, faut peut-être regarder le spectre d'une matrice de Hilbert. Bon courage.

[FR119492]

Salut !

Deux approches sont possibles:

1. Approche déductive: Tu essaies de démontrer rigoureusement ta conjecture, ou tu charges un logiciel de calcul formel, comme Mathematica, de le faire à ta place. Je n'insiste pas là-dessus, parce que je suis un numériste et que ce n'est pas mon truc.
2. Approche inductive (selon G. Polya): Tu as calculé pour n entre 2 et 6, et chaque fois la conjecture était vérifiée. Tu continues avec d'autres n plus grands. Chaque fois que le test est réussi, la conjecture est un peu plus plausible. La première fois que le test est échoué, tu en déduis que la conjecture est fausse. En fait, tu vas te heurter à un autre obstacle: les matrices de Hilbert sont très mal conditionnées et les erreurs d'arrondis vont vite devenir prohibitives.

Bonne chance
Jean-Marc Blanc

[Nemerle]

Juste pour info, la formule d'inversion de la n*n matrice de Hilbert Hij est connue:

Hij^-1 = (-1)^(i+j) * (i+j-1) * C(n+i-1,n-j)*C(n+j-1,n-i)*(C(i+j-2,i-1)^2)


Ok, après, il faut tripatouiller ces coeff de pascal pour en ressortir quelque-chose...

[c-candide]

Juste pour info, la formule d'inversion de la n*n matrice de Hilbert Hij est connue:

Hij^-1 = (-1)^(i+j) * (i+j-1) * C(n+i-1,n-j)*C(n+j-1,n-i)*(C(i+j-2,i-1)^2)


Ok, après, il faut tripatouiller ces coeff de pascal pour en ressortir quelque-chose...

Moi je dirais plutôt le contraire : il faut montrer que la somme vaut n^2 et en déduire une jolie identité

[Zavonen]

Hij^-1 = (-1)^(i+j) * (i+j-1) * C(n+i-1,n-j)*C(n+j-1,n-i)*(C(i+j-2,i-1)^2)

Ce serait plutôt H^-1i,j=.......
Par ailleurs on avancerait beaucoup dans ce problème si quelqu'un connaissait
la plus grande constante K telle que |H(X)|>=K|X| qui existe pour raison de continuité des applications linéaires en dimension finie.
L'inverse de ce nombre correspond à la norme de l'inverse de H.
On pourrait alors utiliser l'excellente remarque de c-candide pour arriver à une inégalité en tenant compte du fait que
|<X,H^-1X>| <=|X||H^-1X|<=|H^-1||X|^2
et que pour le vecteur X=(1,1,....1) |X|^2 vaut exactement n
l'idéal serait donc que la constante K soit égale à 1/ n, on aurait fait la moitié du chemin.

[Nemerle]

Ce serait plutôt H^-1i,j=........

ça c'est vraiment chipoter (sous TeX, l'ordre des inf & sup importent peu par exemple)

Par ailleurs on avancerait beaucoup dans ce problème si quelqu'un connaissait
la plus grande constante K telle que |H(X)|>=K|X| qui existe pour raison de continuité des applications linéaires en dimension finie.
L'inverse de ce nombre correspond à la norme de l'inverse de H.
On pourrait alors utiliser l'excellente remarque de c-candide pour arriver à une inégalité en tenant compte du fait que
|<X,H^-1X>| <=|X||H^-1X|<=|H^-1||X|^2
et que pour le vecteur X=(1,1,....1) |X|^2 vaut exactement n
l'idéal serait donc que la constante K soit égale à 1/ n, on aurait fait la moitié du chemin.

C'est aussi une bonne idée, il faut calculer K, mais bon courage !

[Zavonen]

ça c'est vraiment chipoter

Oui, c'est juste pour te souhaiter la Bonne Année !
Pour ceux qui en doutent encore la conjecture est TRES vraisemblable. Je viens d'écrire un petit programme de vérification jusqu'à n=500. Rien que des carrés parfaits:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
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59
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
#define N 1000
unsigned int Cpn[N][N+1];
 
// Remplit le triangle de Pascal
void FillCpn()
{
    int i,j;
    for (i=0;i<N;i++)
        for (j=1;j<N+1;j++)
            Cpn[i][j]=0;
    for (i=0;i<N;i++)
        Cpn[i][0]=1;
    for (i=1;i<N;i++)
        for (j=1;j<N+1;j++)
            Cpn[i][j]=Cpn[i-1][j-1]+Cpn[i-1][j];
}
 
// Retourne le coefficient Cp,n
unsigned int Coeff(int p, int n)
{
    return Cpn[n][p];
}
 
// Retourne le coefficient d'indices i, j de l'inverse de la matrice de Hermite d'ordre n
int K(int i, int j,int n)
{
    unsigned int r= (i+j-1)*Coeff(n-j,n+i-1)*Coeff(n-i,n+j-1)*Coeff(i-1,i+j-2)*Coeff(i-1,i+j-2);
    if ((i+j)%2) return -r;
    else return r;
}
 
// Calcule la somme des coefficients de ladite matrice
int SommeCoeffs (int n)
{ int i,j;
  int S=0;
  for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
  S+=K(i,j,n);
  return S;
}
 
// Affiche les résultats pour 1 à n (donc les carrés)
void Show (int n)
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    printf("%d\n",SommeCoeffs(i));
}
 
// vérification jusqu'à 500. Tout colle !
int main()
{
    FillCpn();
    Show(500);
    return 0;
}

[Zavonen]

Les choses s'éclairent un peu.
Voici un listing des 6 premières Hn inverses.
De fait on voit que c'est le premier coefficient qui est égal à n^2.
Tout revient à montrer que les autres s'annulent.
Visuellement, on peut faire des groupements qui s'annulent.
Il ne reste plus qu'à théoriser ça:

1
----------------------------------------
4 -6
-6 12
----------------------------------------
9 -36 30
-36 192 -180
30 -180 180
----------------------------------------
16 -120 240 -140
-120 1200 -2700 1680
240 -2700 6480 -4200
-140 1680 -4200 2800
----------------------------------------
25 -300 1050 -1400 630
-300 4800 -18900 26880 -12600
1050 -18900 79380 -117600 56700
-1400 26880 -117600 179200 -88200
630 -12600 56700 -88200 44100
----------------------------------------
36 -630 3360 -7560 7560 -2772
-630 14700 -88200 211680 -220500 83160
3360 -88200 564480 -1411200 1512000 -582120
-7560 211680 -1411200 3628800 -3969000 1552320
7560 -220500 1512000 -3969000 4410000 -1746360
-2772 83160 -582120 1552320 -1746360 698544
----------------------------------------

Process returned 0 (0x0) execution time : 0.046 s
Press any key to continue.

En fait les matrices sont symétriques.
Si on prend la diagonale, elles sépare la matrice en deux triangles dont les sommes sont égales. Il suffit donc de prouver que la somme des éléments du triangle supérieur est égale à l'opposé de la moitié de la somme de la diagonale (privée de son premier terme).

[FR119492]

Salut !

Ton problème, et la discussion qui s'en est suivi, sont très intéressant du point de vue académique. Maintenant, j'ai une question subsidiaire: à quoi sert-il pratiquement de calculer l'inverse d'une matrice de Hilbert ?

Jean-Marc Blanc

[Nemerle]

=> controle d'algorithmes matricels, mais pas uniquement: sur un classe de variétés différentielles (par exemple les espaces de type tube), ces matrices ont pleins d'applications (ce sont des normes sur les espaces tangents). Et l'inverse d'une norme, c'est pratique

On a aussi:

http://www.dartmouth.edu/~mqphan/Resources/TP3045.pdf

[c-candide]

Un ami à moi a une conjecture sur une propriété de l'inverse d'une matrice de Hilbert.
Donc la somme sur i,j des coefficients de cette matrice vaut n²,

La conjecture est exacte en effet, cf. Knuth TAOCP, tome 1, exo 1.2.3.45 (il est corrigé, ça passe par le calcul de l'inverse d'une matrice de Cauchy mais c'est assez simple). Je reste persuadé qu'il existe une approche via le produit scalaire naturel lié à une matrice de Hilbert, l'idée étant d'interpréter le produit matriciel de H par son inverse en terme de base orthogonale pour ce produit scalaire.