Discussion :

[nonoprig]

Bonjour,

Je suis ennuyé parce que j'ai utilisé la fonction princomp sur Matlab pour faire une ACP et qu'ensuite j'ai décidé de regarder la qualité de cette ACP...

Je pose ma matrice de départ X et SCORE la matrice des coordonnées des individus dans la nouvelle base. ET ensuite :
C=diag(X*X'); %normes des individus de X
B=diag(SCORE*SCORE'); %normes des individus de SCORE
E=diag(X*SCORE'); %produit scalaire de X par score
F=(E./sqrt(C)./sqrt(B)).^2; %cosinus carrés entre les individus de x et leurs projetés respectifs dans SCORE.

Je m'attendais à quelques cos carrés élevés et bien non ! Tous inférieurs à 0.1 !!! Est ce donc une mauvaise méthode que de considérer l'angle entre les individus et leur projetés ??? Ou est ce que c'est l'étude ACP qui n'est pas adéquate ?

Merci beaucoup

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Je deviens fou! J'ais deux matrices n*p qui représentent n vecteurs pour la première et leurs n projections dans une autre base pour la seconde.

Je voudrais trouver une matrice n*1 qui donne les n cosinus entre les vecteurs et leur projection.
Pour l'instant j'as pensé a prendre la trace du produit de la première matrice par la transposée de la seconde (donc le produit scalire de chaque vecteur avec son vecteur projeté) mais ensuite il faut que je divise chaque valeur par le produit de la norme de chaque vecteur avec la norme de son vecteur projeté!

Je suis persuadé qu'il existe plus simple, mais quoi!?

Merci pour votre aide

[mr_samurai]

salut,

tu peux juste diviser les normes : cos(teta) = ||p(v)||/||v|| , avec p l'operateur projection.

PS :
si tu projete dans une autre 'base' qui est normée ( la base d'origine est normée aussi), tu dois avoir ||p(v)|| = ||v||. Si ton espace de projection est plus petit que l'espace où se trouve les v, ton calcul serviva à quelque chose .

++

[corentin59]

tu es en quelle dimension ?

[nonoprig]

Je travaille sur l'automatisattion d'une analyse en composantes principales (ACP ou APC en englais). la dimension dépend donc de la matrice de départ.

Afin d'avoir une idée de la qualité de la représentation de chaque point, je cherche l'angle entre chaque vecteur initial (réprésentant un point) et sa projection. Plus précisément le carré du cosinus de cet angle.

[corentin59]

Appelons A ta matrice n*p contenant des n vecteurs en dimension p.
Appelons B ta matrice n*p contenant les projetés des n vecteurs en dimension p.

la diagonale de C = A * transpose(A) te donne la norme carrée de chaque vecteur de A
la diagonale de B = B * transpose(B) te donne la norme carrée de chaque vecteur de B
la diagonale de E = A * transpose(B) te donne le produit scalaire entre les vecteurs de A et de B.

comme cos(angle) = <u.v> / sqrt(<u.u>) / sqrt(<v.v>), tu peux obtenir ton résultat.

Bon c'est la méthode brutale mais si c'est juste pour faire une vérification et si tu es sous matlab, c'est très facile à mettre en oeuvre.

[nonoprig]

Merci corentin,

je suis sous matlab donc effectivement ce sera rapide et facile a programmer.

[corentin59]

Tout d'abord, pourquoi prend-tu le carré du cosinus ? cos(x) étant inférieur à 1, on aura cos²(x) <= cos(x).

Mais bon, dans le cas d'une ACP, c'est plutôt la valeur des valeur propres de la matrice de covariance qu'il faut regarder. Par exemple, si les deux premières sont très grandes par rapport aux autres, alors une représentation basée sur les deux premiers axes donnés par l'ACP contiendra pratiquement toute l'information

[nonoprig]

Bon,

je relance la discution parce que je ne suis pas convaincu. Je n'obtiens que des cosinus carrés inférieurs à 0.1.

J'ai effectué une analyse en composantes principales sur une matrice n*p.
J'ai obtenu une matrice n*p (en réalité n*(p-1) puisque la dernière colonne est nulle) de coordonnées dans une nouvelle base orthonormée.

Afin d'exprimer la qualité de la réprésentation je voudrais le cosinus entre chaque variable et sa projection. Etant donné que chaque matrices se rapporte à une base différente et sont normées différemment, comment faire?

Mon explication est un peu brouillon, mais je sais pas comment expliquer autrement.

[pseudocode]

Afin d'exprimer la qualité de la réprésentation je voudrais le cosinus entre chaque variable et sa projection.

Comme dit précédemment, c'est le rapport des normes.

Etant donné que chaque matrices se rapporte à une base différente et sont normées différemment, comment faire?

"chaque matrice" ? "base différente" ?

Une ACP correspond a une base, donc je ne vois pas pourquoi tu parles de bases differentes.

Point A:
-> coordonnées dans la base d'origine: (a0,b0,c0,...,z0)
-> coordonnées dans la base ACP: (a1,b1,c1,...,z1)

Projection de A sur les 2 premiers vecteurs de la base ACP:
-> coordonnées dans la base ACP: (a1,b1,0,0,...)

(Cosinus angle)² = (rapport des normes)² = (a1²+b1²) / (a1²+b1²+...+z1²)

[nonoprig]

La valeur des valeurs propres de la matrice de covariance est un bon indicateur de la qualité d'information des axes donnés par l'ACP.

Seulement, afin de mieux comprendre les observations initiales, tu peux aussi t'interresser à la "contribution" d'une observation à l'axe n°k.
Ainsi, si l'observation i contribue à 80% de l'information donnée par l'axe k, qui lui même contribue (d'après la valeur propre k de la matrice de covariance) à 45% de l'information, on pourra dire que l'observation i est responsable de 0.8*0.45=0.36=36% de la variance de l'information.

Le cosinus (carré ou pas) entre une observation et sa projection était censé donner une indication de la qualité de sa représentation dans la nouvelle base.
Ce n'est en fait pas très nécessaire, car si je me réduis à 3 ou 4 axes, avec la contribution de l'individu à ces axes, je saurais si il a du sens dans cette nouvelle base.
Ma question est donc: comment calculer la contribution d'une observation à l'axe k???

[corentin59]

je dois avouer que j'ai un peu de mal à comprendre ce que tu veux faire.

Une ACP permet de passer d'une base en dimension n à une autre base d'une plus petite dimension. Le critère de construction de cette nouvelle base est d'essayer de conserver la variance d'origine avec un minimum d'axe de projection. Le critère est donc la variance. Pour calculer une variance, il faut plusieurs données. Pourquoi s'intéresser à la contribution d'une seule observation au calcul de la variance ? ça n'a pas vraiment de sens pour moi. A partir du moment où tu as les valeurs propres, tu as ton indication de la qualité de ton ACP