Discussion :

[libertyblood]

Si qqn pouvait me trouver la solution, je le considérerais comme un dieu toute ma vie .

Il faudrait trouver l'algoritme du cas suivant :

Calculer l'évolution d'une population avec son taux de natalité, sachant que cette population est en partie malade. Un nombre indéfini de maladies peuvent toucher la population. Chacune des maladies possèdent un taux de contamination, et un taux de mortalité. Une personne peut etre atteinte par plusieurs maladies. On ne peut pas recenscer chacune des personnes individuellement : on a par exemple : 10000 population saine, 230 pop malade de A, 632 malade de B, etc.

Le pb, c'est que logiquement si une personne peut avoir plusieurs maladies,si elle meurt il faut déterminer et soustraire ,aux populations des contaminés des autres maladies, le nombre potentiel de personnes touchés par plusieurs maladies.

Exemple : 100 personnes ont A et 200 ont B,et que la pop totale est de 500. A chaque calcul d'évolution, un certains nb de contaminés par A vont mourir et pareil pour les contaminés par B. de plus une partie de la population qui n'était pas touchée, va l'etre par une maladie. Maintenant le pb c'est si des gens qui ont A meurent, cb avaient la maladie B ? Et oui !

Prenons un exemple qui demontre le pb. Les 500 personnes sont malades, 500 ont A et 500 ont B (pas de bol, hein !). Bon, il pourra pas yavoir plus de contaminé que de gens existants, normal. Mais il va quand même yavoir des morts de A et de B, et dans ce cas là, ils ont tous A et B à la fois ! Donc si on applique betement une soustraction des morts, au final on aura deux fois plus de morts que ce qui est.

Donc je demande aux gens qui peuve et qui souhaite resoudre ce pb de m'aider. Cela fait plusieurs mois que je n'arrive pas à resoudre cet algoritme. Merci beaucoup d'avance.

Bon si vous avez besoin de plus d'info demandez moi. Je vous remercie d'avance.

[DrTopos]

Je suggère d'abord de représenter l'état de la population à un instant donné par un vecteur (dont les coordonnées sont des entiers positifs ou nuls). Par exemple, s'il y a 10 bien portants, 7 malades de A, 5 malades de B, et si 2 individus sont malades à la fois de A et B, le vecteur sera:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
 
(10, 5, 3, 2)

où les 4 chiffres représentent les bien portants, les malades de A seulement, de B seulement, et de A et B. S'il y a trois maladies, il y aura 8 nombres, avec 4 maladies 16 nombres etc... avec n maladies, 2^n nombres. Appelons E l'ensemble de ces vecteurs.

Ensuite il faut se fixer un intervalle de temps, et calculer l'évolution du vecteur entre deux instants successifs (séparés de cet intervalle de temps: 1 heure, 1 jour, 1 mois ... comme tu veux). C'est à toi de déterminer l'état de la population à l'instant n+1 en fonction de son état à l'instant n. Tu obtiens donc une fonction f de E vers E, qui calcule un état à partir du précédent.

Le dernier problème est d'itérer la fonction f sans faire trop de calculs. Par exemple de calculer f^1000(i) où i est le vecteur initial. C'est facilement réalisable si f est linéaire, c'est à dire si f peut être représentée par une matrice. Ce devrait être le cas. C'est souvent le cas dans les problèmes de ce genre.

Il suffit donc maintenant de calculer une puissance de cette matrice, et il y a pour cela un algorithme simple et efficace. Par exemple, pour élever une matrice à la puissance 1000, 15 multiplication suffisent. Il suffit de procéder comme suit pour calculer M^n:

si n est pair (disons n = 2p) on a M^n = (M^p)(M^p),
si n est impair (disons n = 2p+1), on a M^n = (M^p)(M^p)M.

Le calcul est donc très rapide par induction (ou à l'aide d'une boucle).

[libertyblood]

Tout d'abord un grand merci ! Merci de m'avoir apporté une réponse qui va dans le sens de ma demande (pas comme chez hardware).

Alors j'arrive plus ou moins à saisir ce que tu essaie de m'expliquer, mais si tu pouvais m'apportais plus de précisions à ton théorème j'en serai heureux, car n'étant pas dans des études de maths supérieurs, j'ai quelques mal à saisir ton raisonnement.

Merci encore.

[mathieu_t]

En gros le problème consiste à définir un espace vectoriel (un ensemble du même genre que grand N par exemple mais tout de même un peu différent)...
Dans cet espace (E), une fonction f est définie : c'est une fonction qui prend un vecteur de dimension n et renvoie un autre vecteur de dimension n...
On peut représenter ça par une matrice (voir cours de matrice, j'ai essayé d'expliquer mais j'ai tout effacé, faut vraiment un cours...) de taille n*n...

Si l'échelle de temps est la journée:
- le 1er jour, on fait f(V) où V est le vecteur initial (de dimension n)
- le 2è jour, on fait f(f(V)) = f°f(V)... On note aussi ça f²(V) (à ne pas confondre avec f au carré) cad la double composition de la fonction f
- le 3è jour, on fait f°f°f(V) = f^3(V)
...
-le kème jour, on fait f^k(V)...

En fait il te faut un cours d'algèbre linéaire qui traite d'espaces vectoriels et de matrice, après ça sera limpide...

A+

[FrancisSourd]

Une autre piste en supposant qu'avoir une maladie A et une maladie B sont deux choses indépendantes. Si on a A, B, N qui désignent le nombre de malades A, de malades B et la population totale.
La proba d'avoir la maladie A et A/N donc la population de B qui a aussi la maladie A est AB/N
On a donc
A et B : AB/N personnes
A seule: A-AB/N personnes
B seule: B-AB/N personnes
A ou B : A + B - AB/N personnes

[mathieu_t]

c'est pas plutôt AB/N² ?
Proba de A : A/N
Poba de B : B/N
proba de A et B : AB/N²...

[FrancisSourd]

c'est pas plutôt AB/N² ?
Proba de A : A/N
Poba de B : B/N
proba de A et B : AB/N²...

La probabilité qu'une personne ait les 2 maladies est bien AB/N². La valeur AB/N dans mon message désigne le nombre (moyen) de personnes qui ont les deux maladies. C'est bien entendu la taille de la population multiplié par la probabilité: N * AB/N² = AB/N

[mathieu_t]

Pardon j'avais mal lu ...

[Matthieu Brucher]

Enfin, dans ton cas, tu n'as jamais de probabilités, tu as des certitudes !

[FrancisSourd]

Enfin, dans ton cas, tu n'as jamais de probabilités, tu as des certitudes !

D'après ce que j'ai compris du problème, on a la certitude du nombre de personnes atteintes par chaque maladie mais tout le reste n'est pas clairement défini. Pour que l'on puisse répondre à la question, il est nécessaire d'avoir plus d'informations.
DrTopos a proposé de baser le calcul sur une loi d'évolution déterministe des populations (s'il est possible de la définir). C'est à mon avis la meilleure solution mais il est souvent difficile d'avoir la loi d'évolution exacte. Si on ne peut pas tout connaître avec certitude, l'utilisation de loi de proba amène à une bonne approximation de l'évolution sans avoir besoin de beaucoup d'information.

[libertyblood]

quelles informations complémentaires souhaiteriez vous avoir ?

[Matthieu Brucher]

Est-ce que ce sont des probabilités d'être malade ou des certitudes d'êtres malade ?

[FrancisSourd]

quelles informations complémentaires souhaiteriez vous avoir ?

Dans le problème tel qu'il est défini si on sait uniquement que a=50 personnes ont la maladie A et b=60 personnes ont la maladie B, on sait uniquement qu'il existe une valeur n telle que

• 50 - n ont la maladie A
  60 - n ont la maladie B
  n ont les deux maladies.

Il manque donc une information dans l'énoncé du problème pour pouvoir le résoudre.

Cette information manquante peut avoir différentes formes. La plus simple est de mesure n en inspectant la population: Peut-on mesurer n à tout instant? Quelles informations peut-on avoir?
Sinon, le plus simple est d'avoir une loi "déterministe" du type n=f(a,b). Existe-t-il une telle loi? Si cette loi n'existe pas, comme peut-on l'estimer? Par exemple, peut-on dire qu'un personne atteinte de la maladie A a

• (1) plus de chance,
  (2) autant de chance ou
  (3) moins de chance

d'être atteinte de B qu'une personne qui n'a pas la maladie A

[FrancisSourd]

Est-ce que ce sont des probabilités d'être malade ou des certitudes d'êtres malade ?

J'insiste encore sur le fait que lorsque je parle de probabilité je ne parle pas de la probabilité d'être malade puisqu'apparamment on connaît les tailles des population avec certitude.

Les probabilités sont introduites sur le fait d'avoir simultanément les deux maladies: là, en effet, il semble qu'aucune mesure sur la population ne soit disponible. Je reformulerai ta question ainsi: connaît-on avec certitude le nombre de personnes qui ont les deux maladies?

[libertyblood]

J'ai essayé de répondre au plus de questions possibles :


On connait avec certitude le nombre de malades de chaque maladies : c'est un pourcentage de la population totale, elle aussi connue.

On connait avec certitude le % de personnes malades de A (ou B, ou C), qui va mourir, à chaque calcul.

On ne connait pas le nombre de malades qui ont les deux (ou trois,ou+) maladies.

Une personne qui a la maladie A a autant de chance d'être atteinte de B, qu'une personne qui n'a pas la maladie A.

[Matthieu Brucher]

Là, ça ne va pas, d'une part tu connais avec certitude le nombre de personnes qui ont une maladie, de l'autre on a une espèce de probabilité du nombre de personnes qui ont plusieurs maladies.
Soit on sait avec certitude tout, soit on sait tout par probabilité et c'est plus le même problème.

[FrancisSourd]

On connait avec certitude le nombre de malades de chaque maladies : c'est un pourcentage de la population totale, elle aussi connue.

On connait avec certitude le % de personnes malades de A (ou B, ou C), qui va mourir, à chaque calcul.

On ne connait pas le nombre de malades qui ont les deux (ou trois,ou+) maladies.

Une personne qui a la maladie A a autant de chance d'être atteinte de B, qu'une personne qui n'a pas la maladie A.

Merci pour ces précisions. Comme on n'a pas de moyen de savoir avec certitude combien de personnes à plusieurs maladies (et lesquelles), il faut approximer ce nombre. D'après la dernière remarque, l'hypothèse de l'indépendance des probas que j'avais faite dans mon premier mail est justifiée. Lorsqu'il n'y a que deux maladies A et B, on a donc (voir mon premier mail:
AB/N personnes ont les deux maladies A et B
A-AB/N personnes ont uniquement A
B-AB/N personnes ont uniquement B
N - A - B + AB/N personnes ne sont pas malades.
Il s'agit d'une espérance mathématique donc d'une estimation qui est meilleure lorsque N est grand.

Pour le problème à trois maladies, par le même raisonnement:
ABC/N² personnes ont à la fois A, B et C.
AB/N - ABC/N² ont les maladies A et B mais pas C
BC/N - ABC/N² ont B et C
AC/N - ABC/N² ont A et C
A - AB/N - AC/N + ABC/N² ont uniquement A
B - AB/N - BC/N + ABC/N² ont uniquement B
C - BC/N - AC/N + ABC/N² ont uniquement C
Le reste de la population n'est pas malade.

Lorsqu'il y a plus de maladies, les formules se compliquent mais le raisonnement reste le même.

Comme on connaît les tailles de la population, on peut savoir comment elle évolue à partir des pourcentages de mortalité.

Lorsque tu sais qu'une personne est à la fois malade de A et de B, sais-tu quelle est sa probabilité de mourir ou faut-il la calculer (ie l'estimer)?

S'il faut la calculer, on doit supposer l'indépendance des événements "mourir de A et mourir de B". On appelle %A la proba de mourir de A et %B la proba de mourir de B. La proba de survie est (1-%A)(1-%B) (il faut survivre aux deux maladies). La proba de mourir lorsqu'on est malade de A et de B est donc %AB = 1 - (1-%A)(1-%B)

Est-ce que cela répond au problème?

[libertyblood]

Oui cela répond en très grande partie au pb ! Je vais voir de mon côté et reposté si j'ai à nouveau des pbs.

[Jimmy_S]

Coucou ici !
Et bien comme on se retrouve !
C'est Chimy d'IUT ! Alors je vois comment vous faites pour coder !

[vdbadr]

Je sais pas si un algo est reellement nécessaire... des outils mathématiques statistiques existent et sont parfaitement adaptés à ton cas : regarde du coté des ACP 'Analyse en Composantes Principales' si c'est insuffisant tu pourras l'adapter a ton cas