cubic spline avec des conditions aux limites

**ENSAM-ALAMI** · 23/05/2008, 11h19

Bonjour,

j'ai un ensamble des points que j'ai interpolé avec la fonction cubic spline de MatLab en utilisant le programme suivant:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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x=zeros(1,n);
y=zeros(1,n);
 
for j=1:1
 
    for i=1:n
 
        x(i)=t(i);
        y(i)=q(j,i);
 
    end
    cs=spline(x,y);
    xx=linspace(x(1),x(n),101);
    plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');
   % hold on;
    grid on
end

et ce programme donne le résultats suivant:

mais moi,je veux interpoller avec une cubic spline de telle facon que que la dérivé première et deuxième des points de l'extremité soit nulle.

est ce que cela est possible sous MatLab?en plus après avoir interpolé je voudaris bien tracer le courbe de la dérivée première.

Merci d'avance.

**ENSAM-ALAMI** · 23/05/2008, 11h20

[IMG]C:\Documents and Settings\Mohamed ALAMI\Mes documents\Mes images\la courbe.jpeg[/IMG]

**LordPeterPan2** · 23/05/2008, 11h44

Envoyé par ENSAM-ALAMI

Bonjour,

j'ai un ensamble des points que j'ai interpolé avec la fonction cubic spline de MatLab en utilisant le programme suivant:

Code :

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x=zeros(1,n);
y=zeros(1,n);
 
for j=1:1
 
    for i=1:n
 
        x(i)=t(i);
        y(i)=q(j,i);
 
    end
    cs=spline(x,y);
    xx=linspace(x(1),x(n),101);
    plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');
   % hold on;
    grid on
end

et ce programme donne le résultats suivant:

mais moi,je veux interpoller avec une cubic spline de telle facon que que la dérivé première et deuxième des points de l'extremité soit nulle.

est ce que cela est possible sous MatLab?en plus après avoir interpolé je voudaris bien tracer le courbe de la dérivée première.

Merci d'avance.

Heu t'imposes deux conditions de trop là : tu n'as le droit (avec les splines cubiques) qu'à deux conditions aux limites (en tout). En effet soit X0, X1, .. Xn tes points connus tel que f(Xi) = Yi (les Yi sont aussi connus),

Alors pour chaque segment [Xi, Xi+1] tu cherche un polynôme a(i,3) X^3 + a(i,2) X^2 + ... + a(i,4) X^0.

Je prends ton premier intervalle :

tu charche (a(i,j) j=1,..,4 et i=0tel que :
* a(i,3) X0^3 + a(i,2) X0^2 + ... + a(i,4) X0^0 = Y0
* a(i,3) X1^3 + a(i,2) X1^2 + ... + a(i,4) X1^0 = Y0
* 3a(i,3) X0^2 + 2 a(i,2) X0^2 + a(i,3) X0 = Y0' (que tu imposes)
* 6a(i,3) X0 + 2 a(i,2) = Y0'' (que tu impose également

Dont tu obtiens les a(0,j) Ensuite pour [X1 X2] tu as (i=1) :
* a(i,3) X1^3 + a(i,2) X1^2 + ... + a(i,4) X1^0 = Y1
* a(i,3) X2^3 + a(i,2) X2^2 + ... + a(i,4) X2^0 = Y2
* 3a(i,3) X1^2 + 2a(i,2) X1 + a(i,3) = Y1' = 3a(i-1,3) X1^2 + 2a(i-1,2) X1 + a(i-1,3)
* 6a(i,3) X1 + 2a(i,2) = Y1'' = 6a(i-1,3) X1 + 2a(i-1,2)

Donc tu obtiens les a(i,j) pour i=1, ainsi de suite et donc lorsque tu arrives à ton dernier segment [Xn-1 Xn] tu obtiens les a(i,j) pour i=n-1 sans avoir besoin d'aucune condition sur Yn' ou Yn''.

**ENSAM-ALAMI** · 23/05/2008, 12h25

merci,
mais tu peux me dire comment je peux faire pour que deux conditions en utilisant la cubic spline tel que f '(X0)=0 et f '(Xn)=0.

**LordPeterPan2** · 23/05/2008, 12h44

Envoyé par ENSAM-ALAMI

merci,
mais tu peux me dire comment je peux faire pour que deux conditions en utilisant la cubic spline tel que f '(X0)=0 et f '(Xn)=0.

hA là c'est possible et c'est meme expliqué dans l'aide :

Code :

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>> help spline
 SPLINE Cubic spline data interpolation.
    PP = SPLINE(X,Y) provides the piecewise polynomial form of the 
    cubic spline interpolant to the data values Y at the data sites X,
    for use with the evaluator PPVAL and the spline utility UNMKPP.
    X must be a vector.
    If Y is a vector, then Y(j) is taken as the value to be matched at X(j), 
    hence Y must be of the same length as X  -- see below for an exception
    to this.
    If Y is a matrix or ND array, then Y(:,...,:,j) is taken as the value to
    be matched at X(j),  hence the last dimension of Y must equal length(X) --
    see below for an exception to this.
 
    YY = SPLINE(X,Y,XX) is the same as  YY = PPVAL(SPLINE(X,Y),XX), thus
    providing, in YY, the values of the interpolant at XX.  For information
    regarding the size of YY see PPVAL.
 
    Ordinarily, the not-a-knot end conditions are used. However, if Y contains
    two more values than X has entries, then the first and last value in Y are
    used as the endslopes for the cubic spline.  If Y is a vector, this
    means:
        f(X) = Y(2:end-1),  Df(min(X))=Y(1),    Df(max(X))=Y(end).
    If Y is a matrix or N-D array with SIZE(Y,N) equal to LENGTH(X)+2, then
    f(X(j)) matches the value Y(:,...,:,j+1) for j=1:LENGTH(X), then
    Df(min(X)) matches Y(:,:,...:,1) and Df(max(X)) matches Y(:,:,...:,end).
 
    Example:
    This generates a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh:
        x = 0:10;  y = sin(x);
        xx = 0:.25:10;
        yy = spline(x,y,xx);
        plot(x,y,'o',xx,yy)
 
    Example:
    This illustrates the use of clamped or complete spline interpolation where
    end slopes are prescribed. In this example, zero slopes at the ends of an 
    interpolant to the values of a certain distribution are enforced:
       x = -4:4; y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];
       cs = spline(x,[0 y 0]);
       xx = linspace(-4,4,101);
       plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');
 
    Class support for inputs x, y, xx:
       float: double, single
 
    See also interp1, pchip, ppval, unmkpp, mkpp, splines (The Spline Toolbox).


    Reference page in Help browser
       doc spline