Discussion :

[Zavonen]

Pourquoi avoir choisi de mettre la paire avant le singleton et l'ensemble vide encore après ?

Pour des raisons pédagogiques.
Un ensemble est 'défini' intuitivement comme un regroupement d'objets. Commencer par un exemple qui n'en regroupe aucun (ou même un seul) c'est donner un premier exemple a contrario du concept, très mauvais. Evidement les 'constructivistes' postule l'existence du vide et fabrique le reste à partir de là. Mon cours s'adresse à des gens sans aucun autre bagage que le secondaire (crois tu que ces vues soient encouragées actuellement ?)

[Zavonen]

Dans la définition des partitions, il faut que i soit différent de j pour avoir la propriété d'intersection vide

Corrigé, merci !

[Zavonen]

Toujours pour les ensembles de parties, à la phrase "Celles qui ne contiennent pas l'élément x leur nombre est donc Cp,n-1", j'aurais rajouté un truc genre "et sont donc incluses dans F"

Corrigé, merci !

[Zavonen]

Dans les ensemble de parties, pour l'exemple de pourquoi il ne faut pas écrire x = {x} en prenant x l'ensemble vide, citer les deux parties de l'ensemble contenant l'ensemble vide

C'est fait ailleurs.

[Zavonen]

Dans les propriétés sur l'intersection, j'aurais probablement mis que A inter B est inclus dans A

Rajouté, merci !

[Zavonen]

Il me parait surprenant qu'il faille attendre d'avoir N avant de pouvoir définir ce qu'est un ensemble fini de façon formelle, non?

Oui, on peut toujours se faire plaisir avec:
A fini ssi A non équipotent à A union {x} où x n'appartient pas à A.
Mais comment exploiter pédagogiquement de genre de définitions ?
Je ne présuppose pas que le lecteur veut devenir mathématicien, seulement qu'il veut faire des études scientifiques, sans se faire 'bloquer' par les maths comme c'est actuellement le cas (particulièrement en info).
Dans ma dernière fac, les moyennes des étudiants de licence en info et IUP tournaient autour de 4 pour la plupart des certifs de maths. Et crois moi, les profs n'étaient pas des sauvages.

[Zavonen]

Merci Alex_Pi pour ta lecture attentive et tes remarques fondées.

[titourock]

Bonjour,

Bravo pour votre très bonne initiative et votre cours qui a l'air simple et clair (je dis "a l'air" car je ne l'ai pas lu en entier ni à fond...)

Juste une petite remarque, la tautologie ((P=>Q) <=> (non Q => non P)) n'est pas présente. Je pense qu'elle pourrait être ajoutée afin de "voir" que lorsque l'on prend comme axiome de base (entre autres) le modus ponens on obtient le modus tollens (que je ne connaissais pas avant d'avoir lu votre cours).

Encore merci pour cette belle initiative.

[Zavonen]

Bonne remarque je crois que je vais le proposer en exercice.

[Zavonen]

Le troisième module de mon cours de maths vient d'être mis en ligne.
Il s'intitule 'Algèbre linéaire'.
Et oui, ceux qui attendaient de l'analyse devront encore patienter un peu, mais cela viendra.
Je crois avoir travaillé en fonction des urgences.
le problème numéro un, c'est la géométrie.
La plupart des questions du sous-forum 'Mathématiques' ont rapport à des calculs d'angles, de distances, à des calculs d'équations de droites, de plans, des calculs de représentations paramétriques, des problèmes d'intersection, des problèmes d'orientation. On voit aussi beaucoup de questions relatives à la convexité, à la connexité. Enfin les transformations géométriques (déplacements et anti-déplacements du plan et de l'espace) font également l'objet de nombreuses questions, et les lacunes de nos forumeux sur ce sujet ne sont que trop évidentes, même quand ils sont embarqués dans des logiciels d'imagerie médicale.
Il y a beaucoup plus de problèmes de ce type que ceux relatifs à la convergence des séries et des intégrales.
Or LA BASE DE LA GÉOMÉTRIE C'EST L'ALGÈBRE LINÉAIRE !!!
On peut dire que le second degré a fait une impasse presque totale sur ce sujet, et dans le cadre de la réforme des programmes on va encore s'attaquer aux maigres reliquats du programme de seconde. Incroyable !
Une autre bonne raison de développer maintenant ce module; il y a également beaucoup de questions se ramenant à des systèmes linéaires, par exemple l'interpolation, le lissage des courbes, la régression linéaire.
Ce module en chiffres:
90 articles réparties en 8 chapitres:

• Espaces vectoriels
• Applications linéaires
• Matrices
• Matrices et applications linéaires
• Déterminants
• Orthogonalité
• Réduction des matrices
• Systèmes linéaires.

Question style, on essaie de conserver une interactivité maximum. C'est pourquoi on trouvera une soixantaine d'appliquettes java pour illustrer les différentes notions.
On trouvera également beaucoup de scripts Python (environ 70) donnés en exemple pour illustrer le cours, ou bien en exercices avec corrigé.
On trouvera également des exercices corrigés environ 200, le plus souvent assez simples, qui sont des illustrations immédiates des notions présentées. Nous avons essayé de faire en sorte de ne pas proposer d'exercices fourre-tout, genre sujet d'examen ou de concours, mais de proposer des problèmes illustrant exactement un point du cours, avec un background minimum (ce qui n'est pas simple...). Pour des problèmes plus difficiles, une page de liens proposent de nombreux sites d'universités ou des pages persos de professeurs très impliqués dans la compilation des sujets d'examen. Malheureusement, la plupart du temps ces problèmes sont proposés sans solutions.
Nous avons essayé de proposer de l'algèbre linéaire ce qui est strictement nécessaire à tout le monde, en faisant un tri nécessairement subjectif. C'est sûr que si vous voulez étudier les modules sur un anneau ou l'algèbre tensorielle, il est préférable de lire le wiki ou des cours pdf des universités ou des classes prépas.
Nous avons cependant développé de nombreux exemples avec le corps Q des rationnels et les corps finis Z/pZ. On pourra objecter que cela n'est pas indispensable aux non mathématiciens. C'est bien vrai, mais comme je l'ai dit plus haut, il s'agit d'illustrer les notions présentées par de petits programmes or dans ces cas de figure (et dans ces cas seulement) il se trouve que les calculs 'tombent juste' (un déterminant qui doit être nul EST nul, alors que dans le cas réel ou complexe avec l'utilisation des librairies spécialisées, il vaut 1.3568748712e-16 !!!!).
Si vous avez déjà utilisé des librairies mathématiques vous avez sans doute remarqué que les valeurs propres multiples sont rarement décelées, que les vecteurs propres 'évidents' (à coordonnées entières), ne sont pas exhibés. Cela ne remet pas en cause la qualité de ces librairies, mais d'un point de vue algorithmique les auteurs ont été obligés de faire des choix qui marchent dans à peu prés tous les cas de figure. Cela est fort ennuyeux, par exemple quand on veut avoir recours à des bibliothèques pour illustrer la décomposition de Jordan. Or c'est bien celle-ci et pas une autre qui est utile pour la résolution de systèmes différentiels du premier ordre à coefficients constants, bien que de nombreux participants 'chevronnés' du forum mathématique semblent en douter.
Nous avons opté pour le trio numpy-scipy-matplotlib qui de l'avis de beaucoup de spécialistes est une alternative crédible à Matlab. L'avantage est bien sûr de rester dans l'univers python avec un langage 'universel' à la syntaxe claire, pour lequel l'objet est 'naturel' sans être 'obligatoire'.
Pour la résolution des exercices calculatoires, l'usage de logiciels est encouragé, mais à chaque fois il faut en voir les limites. La plupart des exercices possèdent des solutions 'justes' exprimées avec des radicaux ou des fractions. Les corrigés étant fournis, les lecteurs pourront comparer les résultats donnés par les logiciels avec les résultats 'exacts'. Pour les gens qui connaissent matlab ou d'autres langages avec leurs librairies (il faut bien citer Java avec 'Jama' que nous avons utilisé abondamment au niveau des applets), la traduction des exemples ne sera pas difficile.
Je réaffirme que ce cours comble un vide: l'absence de cours cohérents au format html natif (latex-pdf restent la norme). Trop d'exposés restent purement livresques. La manipulation des encyclopédies type 'wiki' reste malaisée pour les non spécialistes. On saute du coq à l'âne, d'une part mais les écarts de niveau d'un article à l'autre varient dans de telles proportions qu'on a du mal à cerner le public ciblé. Cela ne nous empêche pas de citer ces références précieuses pour tous les lecteurs désirant un approfondissement.
Pour la suite, et en gardant en vue la géométrie, il y a deux possibilités:

• Soit développer immédiatement un module de géométrie affine et projective (pure) dans la foulée de celui-ci.
• Soit développer un module d'analyse réelle pour pouvoir traiter en même temps les courbes et surfaces paramétrées et leurs propriétés différentielles et intégrales.

Ce choix n'est pas encore fait. Quoi qu'il en soit un nouveau module devrait être ajouté à la fin de l'année civile.
La fréquentation du site reste encore modeste. Il est certain que la meilleure stratégie consiste à développer le partenariat avec d'autres auteurs, c'est ce que nous faisons petit à petit. Ce site référence maintenant une trentaine de partenaires. Cependant, cela prend presque autant de temps de trouver des partenaires de qualité que de rédiger des modules. En tous cas c'est indispensable. Alors que la France représente 50% des 'hits', la Belgique francophone à elle-seule totalise 20% des accès, et le Maroc presque autant. C'est indiscutablement grâce aux liens établis avec des sites nationaux de ces pays bénéficiant d'une large audience. Nous continuerons ce travail de prospection.

[Alp]

Magnifique boulot, gros bravo Gilles

[pseudocode]

Whoaa.. Algèbre linéaire. J'adore. C'est partit pour la lecture.

[SpiceGuid]

Bravo pour le travail accompli et bon courage pour la suite.

[Zavonen]

Merci SpiceGuid pour ta vigilance je corrige ce soir.

[Zavonen]

Bon, finalement je me suis décidé pour l'ajout d'un module d'analyse réelle.
L'objectif est modeste, une fois encore on s'adresse à des débutants niveau L1 ou Maths Sup.
On se contentera donc d'une étude rigoureuse et approfondie des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles. Pas question de parler, pour le moment, d'espaces de Banach ou autre chose. Cependant on tracera un PLAN d'étude qui servira, par la suite de fil directeur pour l'extension des théorèmes aux fonctions de plusieurs variables ainsi qu'aux fonctions de la variable complexe.
Naturellement, il ne coûte guère plus cher d'étudier les fonctions de plusieurs variables où les fonctions définies sur et à valeurs dans des espaces de Banach, et c'est bien ce cadre qui sera retenu. La variable complexe est spéciale et sera étudiée à part et beaucoup plus tard.
Ce premier module comportera des sujets classiques:

• Suites
• Séries
• Produits infinis
• Fonctions numériques
• Dérivation
• Intégration
• Principaux théorèmes du calcul différentiel
• Équations différentielles.

Je me suis rendu rapidement compte qu'une publication en janvier 2010, comme annoncé initialement, n'était pas possible. Je suis pour le moment incapable de prévoir la date de publication du module intégral (sans doute mars ou avril 2010).
J'ai donc décidé de faire une publication chapitre par chapitre.
Je mets ce jour en ligne le premier chapitre intitulé 'suites' comprenant 18 pages,25 applets java, 30 programmes python , 50 exercices corrigés et une page de liens substantielle.
Ce chapitre concerne assez peu les informaticiens professionnels, si ce n'est la page consacrée aux notations de Landau. J'ai pu constater sur ce forum que les idées étaient disons assez vagues sur ce sujet. Un bonne mise au point n'est pas superflue.
Le prochain chapitre sera consacré aux séries.
Mon avenir sur ce forum en discussion actuellement, parait incertain. Il est donc possible que ce post sur ce sujet soit le dernier.
Si c'est le cas, merci à tous pour vos conseils avisés.
Z.