Discussion :

[MPEG4]

Bonjour tout le monde,
voila, je modélise du bruit dans des images astronomiques et comme dernière étape de mon stage, je dois trouver une manière pertinente a modéliser la base des modèles tel qu'elle soit ortho-normée

le problème est que dans la littérature tout ce que j'ai trouve parle de polynome a une seule variable pour le moment,

Je constuit mes polynomes en injectant tout simplement le degres du polynome et j'obtient:

P= Sum_{n<degres} Sum_{m<degres} (A_nm * X^n * Y^m)

donc mes Fi=A_i * X^n * Y^m
mais ce n'est pas tres equilibre et ca ne me donne pas une bonne solution, meme si je fait une regularisation de Tikhonov la dessus
donc le probleme est que je n'ai rien trouve qui puisse m'aider a construire une base ortho-norme en X et Y simulatanement

F=(F1, ...,Fn) la base voulu tel que
si B=(B1, ...,Bn) vecteur norme ||B||=1 --> ||F||=1

est ce que quelqu'un pourrait m'aider a trouver des references assez completes sur cette methode ou m'expliquer comment faire pour le modele mathematique, et s'il est implementable ou pas svp?

Mes remerciements d'avance

[Zavonen]

Tout d'abord il faut préciser par rapport à quelle forme bilinéaire (produit scalaire) la base doit être orthonormée.
Pour les polynômes d'une variable à coefficients réels c'est (f.g)= Intégrale sur [a,b] du produit fg.
C'est le premier point.
Par ailleurs il existe un procédé d'orthonormalisation qui fonctionne dans tous les cas de figures (où l'espace est séparable) c'est le procédé de Schmidt.
Pour normer un vecteur on le divise tout simplement par sa norme.
La suite se construit par récurrence à partir d'une base qcq. B= v1,v2, ...vn
u0=v0/|v0|
w1= v1- v1.u0
v1=w1/|w1|
et ainsi de suite.
Ce procédé peut très facilement être implémenté (aux erreurs d'arrondi près....)
Toutefois, il faudrait avant tout préciser ton produit scalaire ou ta forme hermitienne, pour donner un sens à ton problème.

[MPEG4]

Justement, je suis en train de lire l'article wikipeia parlant de la methode Schimdt, mais je n'arrive pas a voir comment l'appliquer a des vecteurs polynomes
car les U doivent etre des polynomes et non des vecteurs dans R^n, j'ai un peu de mal a retrouver mes notions d'espace de polynomes, et pour ce, je ne sais pas trop comment adapter cette methode a ma recherche de base
ma base de depart est l'ensemble des X^n * Y^m tel que n+m<DEGRES

mais je suis bloquee a ce niveau la et je ne sais plus comment avancer si vous pouvez m'aider a comprendre le probleme svp ou alors m'orienter vers des cours adaptes qui pourraient eclairer ma lenterne

[Zavonen]

Ce post contenait des erreurs , je l'ai supprimé. Voir la suite:

[MPEG4]

alors pour la dimension de l'espace a considerer, je le calcule recursivement

Dimension(0)=1
Dimension(degres)= degres+1+dimension(degres-1)
donc par exemple, la dimension de l'espace a predire par CCD dans le cas des polynomes de degres 2 est egale a 6

pour le P.S. effectivement, mon tuteur m'en a parlé mais je n'ai pas tres bien compris, d'ou mon poste
en effet, l'integrale se calculera sur un fermé
x€[-Xmin, +Xmin]
et y€[-Ymin, +Ymin]
donc des domaines symetriques

NB: je travailles sur des images, donc les coordonnes sont dans des fermés propres a chaque image
pour le moment , je prend l'origine du repere pour chaque CCD comme son coin inferieur gauche, mais je vais y remedier et le translater a son centre
merci bien de ton aide, il ne me reste pas beaucoup pour mon stage et j'aimerais bien le reussir

[Zavonen]

On cherche une base de l'espace vectoriel des polynômes à deux variables de degré total au plus égal à S.
Tu as d'abord:
1,X, X^2, ....... X^s soit s+1 vecteurs
Y, YX, ..... YX^s-1 soit s vecteurs
Y^2, ......., Y^2X^s-2 soit s-1 vecteurs
.........

Y^s soit 1 vecteur
En résumé la base cherchée comporte:
1+2+.....+(s+1) vecteurs soit (s+1)(s+2)/2 qui est donc notre dimension.
C'est le premier point.
Maintenant je crois qu'il faut effectivement avoir les valeurs
Xmin Xmax Ymin Ymax
Si on les garde en paramètres (c'est possible) les calculs vont être fort compliqués.
PS: Surveille ton orthographe pour la bonne tenue du forum. Merci !

[MPEG4]

la base est donc

1 X X^2 ........ X^n
Y XY X^2Y .......X^nY
Y^2 x^2Y^2 X^nY^2

Y^n X^2Y^n ..... X^nY^n

Dans les polynomes que je considere, je ne prend en compte que les termes dont la somme des degres de X et Y est inferieure a DEGRES

Par exemple, pour un polynome de degres 2, pour le moment, je prend comme base les monomes:
X², Y², XY, X, Y et 1 (6 termes )
c'est pour cela que ca ne m'a pas semblé aussi evident que pour toi, et d'ou mon calcul recursif du degres tel que je vous l'ai expliqué plus haut

mais certes, tout depends des hypotheses

pour les fautes d'orthographe, je tacherai de faire plus attention a l'avenir merci

[MPEG4]

Maintenant je crois qu'il faut effectivement avoir les valeurs
Xmin Xmax Ymin Ymax
Si on les garde en paramètres (c'est possible) les calculs vont être fort compliqués.
PS: Surveille ton orthographe pour la bonne tenue du forum. Merci !

oui le problème est que les dimensions des CCD sont variables, ce qui ne nous donne pas les mêmes coordonnées pour toutes les images
mais c'est vrai que cela pourrait me poser effectivement problèmes car je dois trouver une bonne base pour l'ensemble des images que j'ai.
pour mieux m'expliquer, cette base me sert par la suite pour calculer des paramètres de fond de ciel par image
pour une image donnée , j'obtiens un fond
Fond(In)= Sum_n (A_ni * Fi)
avec Fi les polynômes de base produits antérieurement

donc, tu crois qu'il y a moyen de le faire quant même, car a la fin, faudra avoir quand même la même base pour toutes les images, sinon ça prendra un espace monstre,

enfin, s'il ne nous reste que cette solution ( une base par CCD), j'en parlerais a mon tuteur et en principe, ils n'ont pas trop de problèmes avec l'espace disque
est ce que tu peux stp m'expliquer le raisonnement que je puisse avancer un peu
pour les erreurs d'orthographe, j'ai un clavier QWERT, et pour cause, j'omets souvent les accent, mais je tacherais de corriger ces erreurs par soft

Merci

[Zavonen]

Bon alors tu commences par normaliser le premier vecteur de la base soit le polynôme constant 1
L'intégrale vaudra k= (Xmax-Xmin)*(Ymax-Ymin).
Donc par normalisation simple ton premier vecteur de base sera
la constante:
1/k
d'accord ?
Comment trouves-tu le second vecteur associé à X par le procédé de Schmidt ?

[MPEG4]

alors d'apres le cours
c'est
U_2=F2- Proj_U1 ( F2)
avec Proj_U( V ) = <U.V>*U / ||U||²

||U||²= <U.U>

mais est -il facile de programmer les integrales
et le fait d'avoir des Xmin Ymin, Xmax, et Ymax par images?

[Zavonen]

||U||= <U.U>

Ce serait plutôt ||U||= racine(<U.U>).
mais ici tu n'as pas à t'en occuper parce que dans le procédé de Schmidt le premier vecteur construit va être de norme 1.
Donc le second vecteur de Schmidt construit à partir de V soit ici X va être
W/||W|| où W = V-<V,U>U.
Pour ce qui concerne les intégrales pas besoin d'algo particulier ce sont des polynômes donc tu fais deux intégrales simples successives de fonctions qui sont des polynômes d'une seule variable (Thm de Fubini).

[MPEG4]

Oui, c'est vrai pour les intégrales, je m'en suis rendu compte après avoir écrit le message

Alors ma question reste tout de même:

est ce que le fait d'avoir des fermes différents pour chaque images ne dérangerait pas trop pour la création du modèle global?

Donc une fois que j'ai la base initiale, je créerais la nouvelle base tel que chaque vecteur de la nouvelle base est un polynôme et non un simple monôme,

Ça doit être facile a développer ça, me faudra juste que je écrire toutes les fonctions annexes relatives aux polynomes

Merci bien pour toute ton aide et je suis prenante de toute suggestion /remarque

Merci bien

[Zavonen]

est ce que le fait d'avoir des fermes différents pour chaque images ne dérangerais pas pour la création du modèle global?

De mon point de vue on ne peut utiliser Schmidt que si les intervalles d'intégration sont les mêmes pour tout le monde. Sans cela les p.s. sont différents, donc des vecteurs orthogonaux pour une paire d'intervalles fermés ne le sont pas pour une autre.

Donc une fois que j'ai la base initiale, je créerais la nouvelle base tel que chaque vecteur de la nouvelle base est un polynôme et non un simple monôme,

Tout à fait d'accord !

[MPEG4]

Oui
Alors, il me restera a choisir entre deux options:

-que je trouve une base de polynôme par image, ce qui fera beaucoup a mon gout
-ou alors, prendre les coordonnées maximales dans tout l'ensemble d'images et Calculer un modèle global pour le set

Je verrais bien ça demain
J'écrirais d'abord toutes les fonctions relatives aux polynomes et je fixerais cela par la suite, c'est deux lignes de code a ajouter pour un cas ou un autre

Merci beaucoup pour ton aide

Je te tiendrai au courant de l'évolution de la conception et l'implémentation de la méthode

Merci pour tous les conseils et je suis toujours prenantes de toutes les suggestions

[MPEG4]

Si je prends les dimensions les plus larges de toutes les images et que je calcule ma base par rapport a ces coordonnes, est ce que le base resterait toujours ortho-normée quand je l'applique a chacun des CCD par la suite
du moment que je prendrais comme centre de repère de chaque image son milieu, ça pourrait marcher, non?

j'ai pas encore écrit le code de la gestion des polynômes, ça me prendra un peu de temps,mais la conception est la et hiérarchie des structures et appels de fonction est établie, donc me faudra juste debuguer le code


merci de bien vouloir regarder ma proposition et me dire si elle est correcte

[Zavonen]

merci de bine vouloir regarder ma proposition et me dire si elle est correcte

Il me semble que oui.