Discussion :

[TanEk]

Bonjour,

Dans le cadre d'une manipulation simple et naturelle d'une B-Spline interpolante, j'essaye de minimiser la longueur de la courbe en choisissant de bonnes valeurs pour le vecteur de noeud (pour essayer de "minimiser" les oscillations). Je dois donc minimiser l'intégrale de la dérivée de ma fonction b-spline sur son ensemble de définition :

http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch...nt/node21.html

Seulement je ne suis pas un fou des maths alors je commence à bloquer là . Est-ce que c'est possible de miniser une intégrale ? Est-ce que quelqu'un aurait des papiers sur ce genre de problématique ou des idées à me proposer ? Je me suis renseigné sur la paramétrisation cordale mais ce n'est largement pas suffisant, j'obtiens de meilleurs résultats en contraignant les dérivées de la B-Spline.

Merci.

[Zavonen]

Qui dit 'minimiser' dit rechercher des annulations de dérivées ou de dérivées partielles.
Or la fonction longueur est donnée par une intégrale, dépendant de paramètres correspondant à des coefficients polynomiaux dans ce cas. Je crois donc qu'il faut appliquer les théorèmes relatifs à "Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre". Google comprend très bien cela et est intarissable sur le sujet. Le théorème central dit qu'on peut tout bonnement dériver sous l'intégrale. Cela fait, on n'est guère avancé car il faut calculer l'annulation d'une intégrale dépendant d'un paramètre, mais on a toujours les bonnes vieilles recettes d'analyse numérique.

[TanEk]

Je n'ai pas très bien tout ce que vous m'avez dit.

Cela fait, on n'est guère avancé car il faut calculer l'annulation d'une intégrale dépendant d'un paramètre, mais on a toujours les bonnes vieilles recettes d'analyse numérique.

Dans mon cas ce n'est pas de simples polynômes mais plutôt des quotients de polynômes et il y a plusieurs paramètres. Connaitriez-vous des noms de "recettes d'analyse numérique" pouvant résoudre ça ?

[Zavonen]

Prenons un exemple simple avec 3 points et une cubique.
L'équation générale d'une cubique est y=ax^3+bx^2+cx +d (4 coefficients a priori)
On suppose que les 3 points sont A,B,C d'abscisses 0,0.5, 1
En écrivant que la cubique passe par les 3 points vous obtenez 3 équations à quatre inconnues par un système sous-déterminé.
Donc tous les paramètres s'expriment en fonction d'un seul, disons a.
Supposons maintenant qu'on veuille minimiser la longueur de la cubique entre A et C
Il faut donc minimiser l'intégrale:
integrale de 0 à 1 de racine(1+(3ax^2+2bx+c)²)=integrale de 0 à 1 de g(a,x)dx quand on a exprimé b et c en fonction de a.
Posons h(a) cette intégrale. on cherche donc les annulations de h'(a). Or le théorème que j'ai cité dit que la dérivée de h est l'intégrale de 0 à 1 dx de la dérivée partielle par rapport à a de g(a,x) disons h(a,x). On est donc ramené à résoudre une équation de type
intégrale de 0 à 1 de h(a,x)=0 c'est à dire à trouver les racines d'une équation en a. Si par exemple, on a remarqué que cette fonction est négative pour a1 et positive pour a2 on peut trouver une racne par approximation avec la dichotomie.

[TanEk]

Oui mais voilà. Supposons que le domaine d'intégration soit a<b<c et que je remplace dans votre exemple g(a,x)dx par g(b,x)dx. Je dois donc trouver le b compris dans le domaine de définition tel que l'intégrale soit minimisée. Seulement g(b,x) est définit de manière polynomiale par morceau. Et les morceaux sont A=[a,b] et B=[b,c]. Si je veux trouver ça analytiquement je dois donc découper mon intégrale en somme d'intégrales sur A et ensuite sur B. Mais ces A et B dépendent de b que l'on doit faire varier... Bref ça se mord la queue et je n'arrive pas à me dépatouiller avec ça. Vous voyez le problème ?

[Zavonen]

Bref ça se mord la queue et je n'arrive pas à me dépatouiller avec ça. Vous voyez le problème ?

Oui, je vois le problème (mais pas la solution). En effet la méthode que je propose permet des minimisations 'locales' (morceau par morceau) mais pas forcément globales avec les conditions de raccordement.

[pseudocode]

Pour reprendre le problème à la base, tu peux nous donner les points ou la courbe dont tu veux "minimiser les oscillations" ?

[souviron34]

euh... Il me semble que les effets d'oscillations sont inhérents aux méthodes à dérivée première et seconde continue (spline, gaussienne, ...), puisque le degré 3 implique que si 2 points sont très proches par rapport aux 2 points de chaque côté, les contraintes imposent la variation.

Si le but est de minimiser les oscillations, il faut alors prendre une autre méthode....

Car de toutes façons, contraindre les coefficients d'un spline impliquera de ne pas trouver la bonne solution mathématique..


Avec Béziers ou Hermite par exemple, on a des paramètres de contrainte inclus dans le calcul (tension).