Discussion :

[greghor]

Bonjour à tous,

j'ai besoin de résoudre une équation de Laplace. Mon domaine est un carré de coté 1. Je découpe donc des cellules élémentaires dans mon domaine et essaie de me ramener à un système linéaire du type AX=b.
Mes conditions aux frontières du domaine sont X=0. En tenant compte de ces conditions j'obtiens une matrice singulière...donc pas possible de résoudre le système. Je me sens vraiment perdu car lorsque j'essaie de construire la matrice à la main (en découpant mon domaine en 9 cellules élémentaires par exemple...) mon résultat semble correct...

je joins le code , je comprends vraiment pas où est l'erreur...tous les conseils sont les bienvenus

Code :

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function [ A ] = mat( nx )
%matrix to solve laplace equation
%   parameter are the number of point, assuming the same number of point
%   for x axis and y axis
dx=1/(nx-1);
k=0.01;
b=0.5;
for j=1:nx*nx%éléments diagonaux
    A(j,j)=1/(dx^2)*(-4*k)+b;
    if j-1>=1 
        A(j-1,j)=-k/dx^2;
    end
    %contribution des éléments autour du point considéré
    if j+1<=nx*nx
        A(j+1,j)=-k/dx^2;
    end
    if j-nx>=1 
        A(j,j-nx)=-k/dx^2;
    end
    if j+nx<=nx*nx
        A(j,j+nx)=-k/dx^2;
    end
end
%conditions au limites du domaine
for i=1:nx*nx
for j=1:nx*nx
    if j>=1 && j<=nx
        A(i,j)=0
    end
    if j>=nx*nx-nx+1 && j<=nx*nx
        A(i,j)=0
    end
    if rem(j,nx)==1 
        A(i,j)=0
    end
    if rem(j,nx)==0
        A(i,j)=0
    end
 
 
end
 
end
 
 
end

merci d'avance

[FR119492]

Salut!
Première remarque:

j'obtiens une matrice singulière

Comment vois-tu si la matrice est singulière?

Deuxième remarque:
Tu as mal choisi le symbole littéral pour ta fonction inconnue: x et y sont généralement utilisées pour désigner les coordonnées.

Troisième remarque:
Si tu as l'équation de Laplace avec des conditions aux limites homogènes, la solution est identiquement nulle.

Jean-Marc Blanc

[greghor]

merci pour la réponse,

j'ai une matrice singulière car son déterminant est nulle...

je me suis mal exprimé, en fait c'est une équation de Poisson que je dois résoudre du type K*laplacien(u(x,y))+a*u=f(x,y) où les coeff et la fonction f sont connues.
je crois que c'est les conditions aux limites qui me pose problème, je ne sais pas où les prendre en compte,
si je les utilise dans la matrice, j'obtiens une matrice singulière...
si je ne les utilise pas dans la matrice...alors je ne vois pas comment les utilisées...

bien cordialement

[FR119492]

Salut!

c'est une équation de Poisson que je dois résoudre du type K*laplacien(u(x,y))+a*u=f(x,y)

Pour être tout à fait strict, ce n'est une équation de Poisson que si a=0, mais ça n'est pas grave car ça ne change presque rien pour la résolution.

j'ai une matrice singulière car son déterminant est nul

Il est tout à fait inutile de calculer le déterminant. De toute manière, la division par zéro sera détectée lors de la résolution. Pour plus de détaails, voir mon tutoriel http://jmblanc.developpez.com/algori...mes-lineaires/.

c'est les conditions aux limites qui me pose problème

La méthode la plus simple pour résoudre ton problème est la méthode des différences finies: tu appliques sur ton domaine un maillage de pas h (je crois que c'est ce que tu as tenté de faire). Tu approximes ton laplacien par

Code :

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(u(x-h,y)+u(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4*f(x,y))/h^2

Je prends un exemple avec 16 mailles; tu as 9 noeuds sur lesquels la fonction u est inconnue, et non 25, car u=0 sur la frontière. Je les numérote (l'ordre est arbitraire)

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  0  1  2  3  0
  0  4  5  6  0
  0  7  8  9  0
  0  0  0  0  0

Sur ces 9 points, le laplacien (multiplié par h^2) s'écrit:

Code :

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 0  u2  u4   0 -4*u1
u1  u3  u5   0 -4*u2
u2   0  u6   0 -4*u3
 0  u5  u7  u1 -4*u4
u4  u6  u8  u2 -4*u5
u5   0  u9  u3 -4*u6
 0  u8   0  u4 -4*u7
u7  u0   0  u5 -4*u8
u8   0   0  u6 -4*u9

Tu introduis ça dans ton équation et tu obtiens un système de 9 équations à 9 inconnues. La matrice est symétrique et, si tu multiplies par -1 à gauche et à droite du signe = , elle devient définie positive, ce qui réduit presque de moitié le temps de calcul.

Jean-Marc Blanc