Calcul généralisé de l'intersection de sous-espaces affines

**TNT89** · 09/05/2009, 18h29

Bonjour,

Voilà, je dispose d'un espace affine à n dimensions (construit sur R^n, euclidien usuel, muni du produit scalaire usuel) et j'identifie un plan affine par la donnée d'un point (donc un vecteur) et d'un sous-espace vectoriel de dimension p que je représente par une liste de vecteurs formant une base orthogonale de cet espace.

Comment puis-je, tout d'abord, calculer le sous espace vectoriel résultant de l'intersection de deux tels sous-espace (non forcément de même dimensions), en trouvant une base de cette intersection?

Comment puis-je, ensuite obtenir l'intersection dans l'espace affine (problème d'inclusion/parallélisme...)?

Merci de votre aide.

**Zavonen** · 10/05/2009, 17h00

Commençons par le cas du vectoriel.
Soient F et G deux sous-espaces.
a1, .., ap une base de F
b1, ..., bq une base de G
Les vecteurs de l'intersection sont ceux pour lesquels on peut trouver :
x1 , ..,xp
y1, .., yq tels que
x1a1+ .. +xpap= y1b1+ ...+yqbq.
Si tu es dans l'espace R^n tu obtiens les vecteurs de l'intersection en
résolvant un système de n équations linéaires homogènes à p+q inconnues.
Donc tu es ramené tout simplement à la résolution de ce système .
Passons à l'affine maintenant.
Tu as une variété V1 de sous espace directeur F dont on connait un point A et une variété V2 de sous-espace directeur G dont on connait un point B.
V1 et V2 peuvent être données soit par des représentations paramétriques soit par des équations cartésiennes
Tu cherches d'abord un point commun P0(x0, ..,xn) en posant le système correspondant encore à n équations linéaires mais non homogènes cette fois.
Soit tu ne trouves aucun point commun dans le cas ton problème est terminé.
Soit tu trouves un point commun P0, dans ce cas l'intersection est la variété P+I où I est le sous-espace intersection de F et G (voir précédemment).
Donc dans tous les cas il s'agit de résoudre des systèmes.

**TNT89** · 10/05/2009, 18h48

Merci d'avoir pris du temps pour me répondre.

Envoyé par Zavonen

Donc dans tous les cas il s'agit de résoudre des systèmes.

Donc je ne peux pas trouver d'algorithmes pouvant m'amener à la solution sans inverser une matrice? Il n'y a aucune possibilité d'éluder ce point?
(Je pensais qu'en utilisant des projections il y avait moyen de réussir à extraire ces informations...)