Discussion :

[feuilledotone]

Bonjour,

Je me pose une question assez basique concernant l'utilisation des axiomes d'armstrong.

Soit l'ensemble de dépendances fonctionnelles
F = { AB --> C ; B-->D ; CD-->E ; CE-->GH ; G-->A }.

Est-ce que j'ai le droit de faire :

AB --> C et CD --> E donc par pseudo transitivité ABD --> E avec AB qui remplace C ?

[fsmrel]

Oui vous avez le droit de le faire, mais ce qu'il faut c'est le démontrer.

Il faut donc commencer par énoncer les règles d'Armstrong :

Soit A, B, C des sous-ensembles quelconques d’attributs d’une relation donnée R (table si vous préférez causer SQL) et notons AB l’union de A et de B. Les règles permettant d'inférer de nouvelles dépendances fonctionnelles (DF) à partir d’un ensemble donné de dépendances fonctionnelles sont les suivantes, et sont connues sous le nom d’axiomes d’Armstrong, lesquels sont complets et valides :

1. Réflexivité : si B est un sous-ensemble (non nécessairement strict) de A, alors A → B.
2. Augmentation : si A → B, alors AC → BC
3. Transitivité : si A → B et B → C alors A → C

Considérons vos DF :

DF1 : AB → C
DF2 : CD → E

Par application de la règle d’augmentation, à partir de DF1, vous pouvez inférer :

DF3 : ABD → CD

Or CD → E (DF2), donc par transitivité, de DF2 et DF3 on peut inférer :

DF4 : ABD → E

En fait, on vient de retrouver la pseudo-transitivité, règle qui justement est inférée à partir de la règle d'augmentation et de celle de transitivité.

[feuilledotone]

Merci de cette réponse rapide !

C’est effectivement la correction qu’on nous a donnée.

ce qu'il faut c'est le démontrer.

Je pensais qu’on pouvait « simplement » (oui, c’est pas terrible comme mot) remplacer 1 attribut par plusieurs attributs ou inversement (bien sûr dans la limite des règles établies par la pseudo-transitivité). Alors soit l’évidence n’est peut-être pas correcte, soit c’est juste pour l’ exercice ?

Ce que je ne comprends pas, c’ est pourquoi devoir démontrer à nouveau l’augmentation puis la transitivité puisqu’on connait également les 3 autres axiomes :

la pseudo-transitivité (Si X --> Y et YW --> Z alors XW --> Z)

l’union (Si X -> Y et X --> Z alors X --> YZ)

et la projectivité (Si X --> YZ alors X --> Y et X --> Z)

Désolée si je ne suis pas très claire dans ma demande

[fsmrel]

Je pensais qu’on pouvait « simplement » (oui, c’est pas terrible comme mot) remplacer 1 attribut par plusieurs attributs

L’usage que vous faites de l’adverbe est correct. En revanche, l’utilisation du mot « attribut » manque de rigueur. Une dépendance fonctionnelle (DF) est une contrainte non pas directement entre les attributs qui sont les éléments de l’en-tête d’une relation (notez que cet en-tête est un ensemble au sens de la théorie des ensembles), mais entre sous-ensembles (non nécessairement stricts) d'attributs de cet en-tête.

Par exemple, Si X et Y désignent des attributs de l’en-tête de R, on peut légalement écrire :

{X} → {Y}

ou :

{X, Y} → {X}

mais pas

X → Y

ou

XY → X

car X et Y ne sont que des éléments des ensembles singletons {X} et {Y} et de la paire {X, Y}.

Maintenant, si X et Y ne désignent pas des attributs mais des sous-ensembles de l’en-tête de R, alors vous pouvez légalement écrire :

X → Y
X → X
XY → X
Etc.

Et notez soigneusement (comme je vous l’ai fait observer dans mon message précédent) que si X et Y sont de tels sous-ensembles, alors par convention d’écriture, XY représente l’union (au sens de la théorie des ensembles) de Y et de Y.

Alors soit l’évidence n’est peut-être pas correcte, soit c’est juste pour l’ exercice ?

Dans mon message précédent, j’ai nommé les trois règles (réflexivité, augmentation, transitivité) à partir desquelles on peut inférer l’ensemble des DF pour une relation R. Ces trois règles sont communément appelées « axiomes d’Armstrong », du nom de leur inventeur.

Pour sa part, la pseudo-transitivité n’est qu’un raccourci, fort pratique au demeurant, une règle inférée des règles d’augmentation et de transitivité. Si vous prenez soin d’écrire « Par application de la règle de pseudo-transitivité, etc. », nul ne pourra vous faire le reproche d’utiliser ce raccourci ; et si l'on vous pose la question : « QU’est-ce donc que cette règle ? », patiemment vous écrivez quelque chose comme :

Etant données les DF :
A → B
BC → D
A partir des règles d’augmentation et de transitivité, nous pouvons inférer la règle dite de pseudo-transitivité : AC → D.

Preuve :
1. A → B (donné)
2. AC → BC (augmentation)
3. BC → D (donné)
4. AC → D (2, 3 et transitivité)

La projectivité (que les auteurs faisant autorité, tels que Delobel, Adiba, Gardarin appellent plutôt décomposition), ainsi que l’union et la composition sont encore des règles inférées des trois premières règles d’Armstrong, et là aussi ce sont des raccourcis fort pratiques dans la recherche des DF et qui ont mérité de recevoir un nom.

Ce que je ne comprends pas, c’ est pourquoi devoir démontrer à nouveau l’augmentation puis la transitivité puisqu’on connait également les 3 autres axiomes

A moins de s'appeler Delobel, Adiba ou Ullman et faire oeuvre de théoricien, on ne cherche pas à démontrer l’augmentation et la transitivité, mais à les utiliser le plus judicieusement possible, pour démontrer d’autres règles et découvrir de nouvelles DF. Ainsi, l’union, la pseudo-transitivité, la décomposition et la composition ne sont pas à considérer comme des axiomes, mais des règles inférées de la réflexivité, de l’augmentation et de la transitivité et comme je l'ai dit, ces règles supplémentaires sont tellement pratiques qu'on leur a donné un nom.

[liamine]

Merci fsmrel ..pour les explications !!

vous etes vraiment Expert !!

j'arrive pas a démontrer:

si F ={ XY -> YZ } alors X -> Z ..veullez m'aider SVP !

[fsmrel]

Bonjour liamine,

Je vous renvoie à la réponse que j'ai fournie suite à votre demande d'hier.