Discussion :

[jeanpisstoute]

Bonjour,

je dois résoudre une équation différentielle du second ordre en connaissant deux conditions aux limites, une en t=0 (f '(0)=0) et l'autre en t=T (f(T)=1).

Étant donné que les solveurs ode de matlab utilisent du runge-kutta et que mes conditions aux limites sont connues en différents endroits, je ne vois pour l'instant comme solution que de faire une boucle : je cherche le f(0) qui me donne f(T)=1 une fois le système résolu numériquement.

Y a-t-il une solution moins coûteuse en temps de calcul ?

Merci d'avance.

[salseropom]

Salut, la méthode du tir simple est conçue spécialement pour ce genre de problématique. Plus robuste mais plus long à mettre en oeuvre est la méthode du tir multiple (en fait c'est N méthode de tir simple couplée par la résolution d'un système linéaire)

Si tu n'avais QUE des conditions finale, tu aurais pu, au lieu de résoudre x' = f(t,x), résoudre x' = f(t - T,x). Attention quand tu réécris tes équations, car il y a un signe "-" qui apparait (composée de fonctions)

[FR119492]

Salut!
Pour ce genre de problème, qui n'est pas un problème de valeurs initiales, il ne faut pas utiliser une méthode d'intégration pas à pas, comme Runge-Kutta, mais plutôt la méthode des différences finies.
Jean-Marc Blanc

[jeanpisstoute]

Bonsoir et merci pour vos réponses.

Je ne connaissais pas le nom de "méthode du tir" , mais du coup, pour ce que j'ai pu en lire, ça a l'air de ressembler à ce que je fais actuellement et c'est trop long en temps de calculs. Pour l'astuce qui transforme les conditions terminales en conditions initiales, je connaissais mais ne peux pas l'appliquer ici.

Concernant la méthode des différences finies, je craignais que ça soit la seule option car j'ai des termes au carré qui me compliquent un peu la tâche. Mon équation a cette tête :



En tout cas je vous renouvelle mes remerciements.

[salseropom]

Re,

tu parles de temps de calcul qui pour toi sont très importants. Je ne sais pas si tu as "juste" une équation à résoudre ou bien si ton coeur de calculs fait partie de toute une application déjà industrialisée, mais si tu es à la recherche de temps de calculs, je te conseille vivement d'oublier Matlab et de passer à un langage compilé.

Pour le C ou le C++ je te recommande un super solveur : CVode, devoloppé par Sundials. Il est vraiment très bien et facile à brancher. Mais bon, encore faut-il savoir programmer un C ou en C++. Il y a aussi une version Fortan (FVode).

Dans la méthode du tir simple, l'inconnue est la condition initiale. Tu dois donc faire en général un algo de Newton sur ta condition initiale...

[jeanpisstoute]

Re

En effet le temps de calcul relatif à la résolution de cette équation compte pour moi car elle fait partie d'une boucle où cette équation doit être résolue un grand nombre de fois. Le temps de calcul total est donc fortement dépendant du temps de cette résolution.

Pour ce qui est de passer tout le reste du programme en C ou Fortran, c'est sûr que ça pourrait aider, mais dans l'immédiat il me paraît plus simple de faire des différences finies. Par contre je prends note de tes suggestions de solveurs, qui pourront me servir plus tard.

Je vous tiendrai au courant de ce que ça a donné.

[jeanpisstoute]

C'est encore moi

j'ai testé la méthode des différences finies. Comme j'obtiens un système d'équations non linéaires, j'ai voulu utiliser un schéma de Newton-Raphson pour le résoudre, mais je n'arrive pas à séparer les différentes variables pour écrire le système sous forme matricielle. Du coup je l'ai écris "à l'arrache", en me donnant une forme de départ de f et en itérant sur cette forme (genre f{i}(t+1)=fonction de f{i-1}(t) et de f{i+1}(t)). Et bien la convergence est super lente et les temps de calculs sont bien supérieurs à ceux que j'ai avec la méthode du tir simple.

Je ne sais pas si je dois créer une autre discussion pour cela, mais j'aimerais savoir si vous avez une astuce pour converger plus rapidement vers une solution, sans pouvoir écrire mon système d'équations sous forme matricielle. Merci pour toute information.