Discussion :

[Nemerle]

Salut,

n'ayant pas fait d'équation différentielle depuis près de 20 ans (et pas le temps en ce moment de reprendre les bouquins...) , quelqu'un peut-il m'aider à résoudre x'' = x/(x'-1) ?

[Ulmo]

Par curiosité, d'où sort cette équation ?

Avec l'aide de MuPad :
x''.(x'-1) = x
x'^2.x''-x'.x'' = x.x'
x'^3/3 - x'^2/2 = x^2/2 + C1
Cardan ou autre -> x'(t) = ...

[FR119492]

Salut!

résoudre x'' = x/(x'-1)

Je suppose que tu voulais dire

intégrer x'' = x/(x'-1) avec conditions initiales

Tu commences par poser y=x'
Tu as alors un système de deux équations du premier ordre, soit sous forme canonique:
x'=y
y'=x/(y-1)
Tu vois immédiatement que ce système n'est pas linéaire. Il est donc peu vraisemblable qu'il existe une solution analytique "simple". Tu te diriges donc vers une méthode d'intégration numérique, par exemple Runge-Kutta du 4ème ordre.
Jean-Marc Blanc

[Nemerle]

Salut! Je suppose que tu voulais dire ...

Si, je voulais exactement dire résoudre x''=x/(x'-1), fonctionnellement.

... Il est donc peu vraisemblable qu'il existe une solution analytique "simple". Tu te diriges donc vers une méthode d'intégration numérique, par exemple Runge-Kutta du 4ème ordre.

Je "sais" qu'il existe une solution à ce problème; seulement, l'article de recherche indique ce point mais ne donne pas la/les solutions fonctionnelles...

[Ulmo]

Par curiosité, d'où sort cette équation ?

x''.(x'-1) = x
x'^2.x''-x'.x'' = x.x'
x'^3/3 - x'^2/2 = x^2/2 + C1
Cardan ou autre -> x'(t) = f(x) (1 ou 3 branches...)
dx/f(x) = dt
G(x) = int(dx/f(x)) = t + C2

x(t) = G^-1(t+C2)

Intégrer 1/f(x) ne me semble pas possible, sans parler d'inverser le résultat.

Ils font mieux que ça dans ton papier ?

[FR119492]

Salut!

je voulais exactement dire résoudre x''=x/(x'-1), fonctionnellement.

Si je te comprends bien, tu cherche l'expression analytique des fonctions qui satisfont ton équation différentielles. Alors, comme cette équation est du deuxième ordre, cette expression comportera deux constantes d'intégration que tu ne pourras déterminer que si tu disposes de deux informations supplémentaires.

Maintenant, j'ai certains doûtes concernant l'équation différentielle elle-même: si la variable indépendante est le temps t, exprimé en secondes, alors y' est une grandeur de dimension un, x s'exprime en secondes et x" en secondes à la puissance -1. Le terme de gauche de ton équation est exprimé en secondes à la puissance -1 et celui de droite en secondes, ce qui est contradictoire. Peut-être que je me trompe, mais il faudrait que tu nous expliques d'où provient ton équation.

Enfin, si ton équation était quand même correcte, on pourrait dire que x' est soit toujours supérieur à 1, ou toujours inférieur à 1, sauf là où x est nul, faute de quoi on tomberait sur une division par zéro; ça nous donne une piste.

Jean-Marc Blanc

[Nemerle]

L'équadiff provient d'une résolution asymptotique d'une équadiff complexe liée aux oscillations amorties d'un laser à rubis (article de vulgarisation que j'ai lu ce week-end). A t>0 il y a couplage entre son intensité I et son paramètre d'inversion de population N:

dI/dt = I(N(t)-1) et Dn/dt = c(A-N(t)(N(t)I(t)).

Evidemment ce système non linéaire ne peut être résolu exactement. Mais comme c est petit, on tente une approx asymptotique en égalant c à zéro, donnant

DI/dt = I(N(t)-1) et dN/dt=0.

N est constant, mais l'équation 1 donne une exponentielle, qui ne reproduit pas le phénomène oscillatoire qu'on recherche à modéliser. Pour lever cette singularité quand c->0, on effectue un changement de variables:

s=wt, I=I0(1+y(s), N=1+wx(s) avec w=racine(c(A-1)).

On tombe alors sur

dx/ds = -y(s) -ex(1+I0(1+y(s))), dy/ds = (1+y(s))x(s) avec e=racine(c/I0).

c->0 revient maintenant à e->0. Dans ce cas, en notant les dérivées en fonction de s et en faisant e=0,

x'=-y, y'=(1+y)x.

Ce système est classiquement résolu par les physiciens semble-t-il, et est le point de départ pour obtenir une approximation satisfaisante de notre problème oscillatoire. Pour s'amuser, il vient x=-x''/(1-x').

Je me suis alors posé le problème x=x"/x' pour rigoler

[Ulmo]

Je me suis alors posé le problème x=x"/x' pour rigoler

Ah oui, nettement plus facile.
Et puis, le problème de dimension des variables est résolu.

Ce système est classiquement résolu par les physiciens semble-t-il[...]

Pourrais-tu préciser ?
Il savent qu'il y a une solution, comment l'obtenir numériquement, en ont une expression plus ou moins explicite, ... ?

[Nemerle]

oui, il semblerait (rien de décrit dans l'article)...