Calcul coordonnées centre d'un cercle passant par deux points

**acecel** · 12/04/2010, 15h19

Bonjour

J'essaye en vain de résoudre ce problème :

Je dois calculer les coordonnées du centre C d'un cercle passant par deux points A et B.

Un petit schéma vaut mieux que des mots :

Je connais les coordonnées des points A et B, ainsi que le rayon r du cercle.
Je dois donc trouver les coordonnées du point C.

Merci d'avance

(Le langage utilisé dans ce cas est du Visual Basic, mais bon c'est secondaire)

**Nemerle** · 12/04/2010, 15h26

sorry, ... mais il existe une infinité de cercles passant par A et B !!!!!

**acecel** · 12/04/2010, 15h28

Envoyé par Nemerle

sorry, ... mais il existe une infinité de cercles passant par A et B !!!!!

Tous les points passant par la droite "DC" sont les centres des cercles passant par A et B, mais le rayon permet de limiter l'ensemble à deux cercles possibles, non ?

**Jean Dumoncel** · 12/04/2010, 18h44

Envoyé par acecel

Tous les points passant par la droite "DC" sont les centres des cercles passant par A et B, mais le rayon permet de limiter l'ensemble à deux cercles possibles, non ?

Exactement.

Et pour trouver ces centres, ce n'est pas très compliqué :
Soit C l'un des deux centres que tu cherches. Tu sais que C se trouve sur la médiatrice de AB (J'imagine que tu as appelé cette médiatrice DC mais je ne vois pas ton dessin). Si oui, D est le milieu de AB.
Tu as donc :
CA = CB = r
AD = DB = AB/2
donc là tu utilises pythagore pour trouver la longueur CD et avec cette longueur tu peux trouver les positions de tes centres.

**Zavonen** · 12/04/2010, 19h10

Et pourquoi ne pas écrire tout de suite CA^2=CB^2=r^2. Les carrés s'éliminent pour faire place à une relation linéaire entre les coordonnées de C. Remplaçant l'une par son expression linéaire en fonction de l'autre on tombe sur une équation du second degré en x, que l'on résout et on a les valeurs correspondantes de y à nouveau par la relation linéaire. (En somme, D est inutile).

**Jean Dumoncel** · 12/04/2010, 22h06

Effectivement, ça semble plus rapide!

**acecel** · 13/04/2010, 10h00

Merci pour vos réponses.

J'avoue ne pas avoir fait de trigo/maths depuis un paquet d'années, et là même avec votre explication, je n'y arrive pas (en suivant la méthode de Zavonen, j'arrive sur une équation de 15km qui va probablement s'annuler à la fin)

Je m'excuse de demander ça, mais pourriez-vous développer un peu votre raisonnement ?

Merci d'avance

**acecel** · 13/04/2010, 10h36

J'arrive à l'équation suivante :

2*xC(xB - xA) + 2*yC(yB - yA) = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^2

Ensuite je sèche (enfin tourne en rond)

**Nemerle** · 13/04/2010, 11h01

Envoyé par acecel

Tous les points passant par la droite "DC" sont les centres des cercles passant par A et B, mais le rayon permet de limiter l'ensemble à deux cercles possibles, non ?

Ok, mais tu n'avais pas spécifié le rayon constant dans ton énoncé...

Allez, souvenons-nous de nos cours de géométrie à l'école: si L est la longueur d'une corde (AB ici) et H la longueur de la hauteur associée (ici DC), alors R=(H^2+L^2/4)/(2H)

**acecel** · 13/04/2010, 11h06

Envoyé par Nemerle

Ok, mais tu n'avais pas spécifié le rayon constant dans ton énoncé...

Allez, souvenons-nous de nos cours de géométrie à l'école: si L est la longueur d'une corde (AB ici) et H la longueur de la hauteur associée (ici DC), alors R=(H^2+L^2/4)/(2H)

Je connais les coordonnées des points A et B, ainsi que le rayon r du cercle.

**Jean Dumoncel** · 13/04/2010, 11h58

Envoyé par Nemerle

R=(H^2+L^2/4)/(2H)

Il y a un problème avec ta formule, non?
Pythagore dit que :
R^2=(H^2+L^2/4)

Envoyé par acecel

J'arrive à l'équation suivante :

2*xC(xB - xA) + 2*yC(yB - yA) = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^2

Ensuite je sèche (enfin tourne en rond)

Tu peux exprimer xC en fonction de yC, puis remplacer xC dans l'équation :
(xC-xA)^2+(yC-yA)^2=r^2
tu obtiendras une équation du second degré à résoudre...

J'ai l'impression qu'il y a plus rapide, mais pour le moment, je ne vois pas.