Discussion :

[Rekin85]

Bonjour à tous

J'ai un projet de graphisme, mais je ne sais trop comment l'aborder du point de vue de l'algorithmique.

Je m'explique : je voudrais dessiner sur un canvas des petits carrés de couleurs de 4x4 pixels par exemple qui s'empileraient à partir du centre en spirale carrée comme des briques collées les unes aux autres.

Après avoir établi la procédure de dessin d'un petit carré DessinCarré(x,y,couleur : integer) avec x et y les coordonnées du coin haut gauche, quelle serait la relation mathématique pour définir la suite des x,y de chacun des petits carrés successifs ? Et avoir ainsi la position du nième petit carré :
PositionCarre(n : integer; var : x,y : integer) ?

J'ai conscience que je demande du difficile et je n'oblige quiconque à trop se casser les méninges... Merci d'avance à tous.

[Gilbert Geyer]

Salut René,

En principe tous le types de spirales sont des équations polaires du type Ro = f(Theta).

Tu peux trouver ici plein d'équations, mais de siprales non carrées, je te passe le lien vers ce site car c'est une mine d'or qui pourra re-servir : http://www.mathcurve.com/courbes2d/s.../spirale.shtml

mais pour ta spirale carrée on peut s'en inspirer pour mettre au point ton équation.

Pour simplifier, on peut déjà considérer qu'il s'agit d'une spirale carrée formée de tronçons de droites horizontales (y=cste) et verticales (x=cste).
Dès qu'on a dessiné sur un papier l'amorce de la spirale sur au moins un tour complet on peut se simplifier la vie en considérant que la suite de la spirale est formée de tronçons de droites homothétiques de ceux de l'amorce qui part du centre pour 3/4 d'entre eux le 4ième étant formé par le côté de longueur égale à Lg(TronçonHomothétiqueNmoinsUn)+Pas où Pas = valeur de la progression, qu'on peut prendre constant pour simplifier.

Une autre solution pourrait consister à utiliser l'une des équations polaires du site pour calculer la position des points ou la spirale-courbe coupe le repère d'axes incliné à 45° sur l'horizontale puis de tracer des tronçons horizontaux et verticaux à partir des points d'intersection de la spirale-courbe.

Cordialement, et à +.

[Rekin85]

Bonjour Gilbert ! J'espère que tu te portes au mieux...

Bin j'ai bien pensé que les points origines de chaque petits carrés doivent se trouver sur une spirale "normale" dont il suffit d'établir son équation... Je te remercie beaucoup pour le lien que tu me fournis .

Comme tu vois, je suis toujours sur mes nombres premiers et je voudrais reproduire la spirale d'Ulam mais avec les expressions héxadécimales des valeurs de la fonction Pi(n). En attendant, Chapeau les GInt !

Bien à toi et à plus...

[Rekin85]

Si j'avais réfléchi avant de poster !

comme il s'agit pour moi de dessiner des petits carrés de couleur en suivant une spirale carrée, le problème algorithmique est d'une simplicité enfantine ! Si on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, et si on considère qu'on avance selon quatre directions N S E O. Il suffit à chaque fois qu'un carré est dessiné de tester si le carré de la direction suivante est déjà coloré ou pas.
=> Si oui alors avancer d'un pas dans la même direction et colorier
=> Si non alors tourner à droite d'un pas et colorier

... et ainsi de suite...

Comme on est en pixels d'écran donc en nombres entiers, des petits calculs de positions extrêment faciles.

Je remercie tous ceux qui avaient commencé des hautes réflexions mathématiques pour me venir en aide; et avec mes excuses

[Gilbert Geyer]

Re-salut René,

"J'espère que tu te portes au mieux" : OK merci, et idem pour toi.

"reproduire la spirale d'Ulam" : Vu la première image qu'en donne Wikipédia, celle dont la légende commence par "Première étape ..." on se rend compte que la spirale ne pourra âtre carrée que pour des petits nombres premiers car il faut de la place pour tracer la valeur numérique des nombres, à moins que ton objectif ne soit pas d'afficher la valeur numérique des nombres mais uniquement marquer la présence d'un nombre premier par un carré de pixels ???

Si on se base sur cette image on voit :
- que deux paires de tronçons successifs de droites ont la même longueur (Lg(1..2) = dx = Lg(2..3) = dy) et (Lg(3..5) = 2*dx = Lg(5..7) = 2*dy)
- et que les deux tronçons suivants sont de longueur 3*dx et 3*dy on a donc affaire à une simple progression : y'a-plus-qu'à mettre ça en équation.

"En attendant, Chapeau les GInt" : Yes, j'ai remarqué que ça télécharge sec, et personne se plaint.

Cordialement et à +.

[Gilbert Geyer]

Re-salut René,

Oups, t'as été plus rapide que moi.

A+.

[Rekin85]

Merci beaucoup Gilbert... Ma forme n'est pas terrible en ce moment.

Si j'aboutis à quelque chose sur mon idée de représentation binaire de répartition des premiers, je ne manquerai pas de t'en faire part personnellement.

J'ai d'autre part suivi la piste des nombres premiers ayant le même nombre de bits 1 que de bit 0 (travaux récents des mathématiciens Christian Mauduit et Joël Rivat ), mais je ne suis parvenu à rien de bon

Décevants finalement les premiers mais je m'accroche !

[Gilbert Geyer]

Re-salut,

Tiens voiçi un bout de code à modifier selon besoins.

Code :

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procedure SpiraleCarree(var bmp : tBitMap; xc,yc : integer);
const     UnPas = 10;
var       i,x,y, m,nbPas : integer;
begin     with Bmp.canvas do begin
               x:=xc; y:=yc; pen.width:=2; MoveTo(x,y);
               for i:=0 to 120 do begin
                   m:=i mod 4; nbPas:=(i div 2) + 1;
                   case m of
                        0 : // versDroite
                            begin x:=x + nbPas*UnPas; pen.color:=clBlue; lineTo(x,y);
                            end;
                        1 : // versHaut
                            begin y:=y - nbPas*UnPas; pen.color:=clLime; lineTo(x,y);
                            end;
                        2 : // versGauche
                            begin x:=x - nbPas*UnPas; pen.color:=clRed; lineTo(x,y);
                            end;
                        3 : // versBas
                            begin y:=y + nbPas*UnPas; pen.color:=clFuchsia; lineTo(x,y);
                            end;
                   end;
               end;
          end;
end;

J'ai d'autre part suivi la piste des nombres premiers ayant le même nombre de bits 1 que de bit 0 (travaux récents des mathématiciens Christian Mauduit et Joël Rivat ), mais je ne suis parvenu à rien de bon

... J'ai vu la discussion ches Phidels.

Cordialement, et à+.

EDIT même jour 15h51 :
Remplacé nbPas:=(i div 2) - 1;
par nbPas:=(i div 2) + 1;

[Rekin85]

Merci Gilbert, je garde ta solution que je range avec celle que Columbo m'a filée sur Phidels.com. Toutes deux sont des solutions mathématiques de bonne facture. Je testerai si besoin plus tard.

Pour ma part, j'ai tricoté ma spirale carrée comme indiquée plus haut et le résultat sur le problème que je m'étais fixé est sur Phidels.Com en forum fondamental. Encore une déception sur les nombres premiers ?