Discussion :

[Onimaru]

Il est certain qu'une bijection R / R^n existe. C'est prouvé. D'ailleurs le principe de la diagonale de Cantor peut s'appliquer pour construire une bijection.

Mais c'est une autre histoire de construire la bijection sous une forme de fonction multi-linéaire. Je ne suis meme pas sur que ca soit possible.

Donc il existe une solution pour mon problème, dans ce cas comment faire?

[pseudocode]

Donc il existe une solution pour mon problème, dans ce cas comment faire?

Comme déjà dit de nombreuses fois (), tu peux utiliser le principe de la diagonale de Cantor en entrelaçant les chiffres représentants les valeurs. Pour gérer les signes, on peut prendre une convention (+=1 -=2)

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
V ={4, -3, 6, 1.5}
 
+4   --> 14.000000...
-3   --> 23.000000...
+6   --> 16.00000...
+1.5 --> 11.50000...
 
S =  12114361.00050000000....

[Onimaru]

Comme déjà dit de nombreuses fois (), tu peux utiliser le principe de la diagonale de Cantor en entrelaçant les chiffres représentants les valeurs. Pour gérer les signes, on peut prendre une convention (+=1 -=2)

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
V ={4, -3, 6, 1.5}
 
+4   --> 14.000000...
-3   --> 23.000000...
+6   --> 16.00000...
+1.5 --> 11.50000...
 
S =  12114361.00050000000....

Merci, j'apprécie énormément votre aide et je n'ai pas de mots pour l'exprimer mais j'ose demander une autre fois :

1) Soit n dans N.
2) Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
3) Soit E(X) une partie de R^n qui contient tous les vecteurs possibles issus
de la permutation des composantes de X.
4) Soit W une application de E(X) dans R^n. (ce qu'on cherche).
5) Soit . une application de (R^n)^2 dans R^n définie par :
X(X0, ..., Xn) . Y(Y0, ..., Yn) = (X0Y0, ..., XnYn).
6) Soit x une application de E(X) x R^n dans R qui vérifie :
x(X', W(X')) = Somme_Composantes(X' . W(X')) / Somme_Composantes(W(X')).
7) Soit M partie de R l'image de E(X) x R^n par x.

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X' dans E(X)) d'une façon à ce que l'application x soit bijective.

oublions l'histoire de signature, voici le vrai problème

[Zavonen]

Le problème est à mon avis, pour la première fois bien posé et il admet des solutions.
X est donc au départ un vecteur fixe de R^ñ avec des composantes X0, ...,Xn-1
J'espère que tout le monde admettra qu'on peut se borner à chercher W dans l'hyperplan H d'équation Y0+Y1+ ...+Yn-1=1
Soit T une permutation quelconque de {0, 1, ..., n-1}
On note T(X) le vecteur dont les coordonnées sont XT(0), XT(1), ....,XT(n-1), donc le vecteur obtenu en permutant les coordonnées de X.
A priori les vecteurs T(X) sont au nombre de n!
Cependant X peut être égale à T(X) si T opère sur une partie où les composantes de X sont égales. Par exemple si X0=X1 et si T est la transposition des deux entiers 0 et 1 alors évidemment T(X)=X.
Examinons maintenant ce que veut dire W.X=W.T(X).
Cela signifie que le vecteur X-T(X) est orthogonal à W.
Autrement dit nous cherchons un vecteur W qui soit non orthogonal à tous les vecteurs X-T(X) pour les T tels que X-T(X) soit NON NUL.
Remarquons que ces vecteurs sont en nombre FINI (au maximum n!)
Nous cherchons maintenant dans H les vecteurs non orthogonaux à tous les X-T(X).
L'intersection de H avec l'orthogonal de X-T(X) ne peut pas être H car alors le vecteur X-T(X) aurait toutes ses coordonnées égales, c'est à dire
Xi-XT(i)= k pour toutes les valeurs de i. Mais si T échange par exemple 0 et 1 on aurait
X0-X1=k=X1-X0 donc X1=X0
On peut donc supposer que pour chaque T le vecteur X-T(X) n'est pas orthogonal à H.
Donc dans ce cas l'intersection avec H de l'orthogonal à X-T(X) est une variété de H de dimension n-2.
Le résultat provient de ce qu'une variété de dimension p ne peut être réunion d'un nombre fini de variétés de dimension p-1. La raison est topologique. Dans un espace de dimension p tous sous espace de dimension p-1 est 'maigre' (d'intérieur vide) et une réunion finie d'ensembles maigres reste un ensemble maigre.
En somme une droite ne peut pas être une réunion finie de points, pas plus qu'un plan ne peut être une réunion finie de droites, pas plus qu'un volume ne peut être une réunion finie de plans, etc.
Je donnerai dans un autre post la construction, je dois m'absenter.

[Onimaru]

Le problème est à mon avis, pour la première fois bien posé et il admet des solutions.
X est donc au départ un vecteur fixe de R^ñ avec des composantes X0, ...,Xn-1
J'espère que tout le monde admettra qu'on peut se borner à chercher W dans l'hyperplan H d'équation Y0+Y1+ ...+Yn-1=1
Soit T une permutation quelconque de {0, 1, ..., n-1}
On note T(X) le vecteur dont les coordonnées sont XT(0), XT(1), ....,XT(n-1), donc le vecteur obtenu en permutant les coordonnées de X.
A priori les vecteurs T(X) sont au nombre de n!
Cependant X peut être égale à T(X) si T opère sur une partie où les composantes de X sont égales. Par exemple si X0=X1 et si T est la transposition des deux entiers 0 et 1 alors évidemment T(X)=X.
Examinons maintenant ce que veut dire W.X=W.T(X).
Cela signifie que le vecteur X-T(X) est orthogonal à W.
Autrement dit nous cherchons un vecteur W qui soit non orthogonal à tous les vecteurs X-T(X) pour les T tels que X-T(X) soit NON NUL.
Remarquons que ces vecteurs sont en nombre FINI (au maximum n!)
Nous cherchons maintenant dans H les vecteurs non orthogonaux à tous les X-T(X).
L'intersection de H avec l'orthogonal de X-T(X) ne peut pas être H car alors le vecteur X-T(X) aurait toutes ses coordonnées égales, c'est à dire
Xi-XT(i)= k pour toutes les valeurs de i. Mais si T échange par exemple 0 et 1 on aurait
X0-X1=k=X1-X0 donc X1=X0
On peut donc supposer que pour chaque T le vecteur X-T(X) n'est pas orthogonal à H.
Donc dans ce cas l'intersection avec H de l'orthogonal à X-T(X) est une variété de H de dimension n-2.
Le résultat provient de ce qu'une variété de dimension p ne peut être réunion d'un nombre fini de variétés de dimension p-1. La raison est topologique. Dans un espace de dimension p tous sous espace de dimension p-1 est 'maigre' (d'intérieur vide) et une réunion finie d'ensembles maigres reste un ensemble maigre.
En somme une droite ne peut pas être une réunion finie de points, pas plus qu'un plan ne peut être une réunion finie de droites, pas plus qu'un volume ne peut être une réunion finie de plans, etc.
Je donnerai dans un autre post la construction, je dois m'absenter.

Nous attendons avec hâte la suite ...

[Zavonen]

Tout le problème est donc de construire dans une variété linéaire H de dimension p un point qui n'appartient PAS à une réunion finie de sous-variétés de dimension p-1 V0, V1, V2, ...,Vn-1.
On prend au départ un point au hasard P0 et on regarde sa position par rapport à V0. Soit il n'appartient pas à V0, dans ce cas il peut être placé dans une boule de rayon r ne rencontrant pas R0, soit il appartient à V0. S'il appartient à V0, tout point translaté de P0 suivant la direction orthogonale à V0 n'appartient pas à V0, donc on peut construire à partir de P0 un point P1 centre d'une boule qui ne rencontre pas V0. Par la suite on construit P2 à partir de P1 comme P1 à partir de P0 en s'assurant que P2 est dans la boule de centre P1 et ne rencontrant pas V0, on construit ainsi un point P2 qui est centre d'une boule ne rencontrant ni V0 ni V1, et ainsi de suite, le processus prend fin parce que la suite V0, V1, ..., Vn-1 est fini.

[Onimaru]

Tout le problème est donc de construire dans une variété linéaire H de dimension p un point qui n'appartient PAS à une réunion finie de sous-variétés de dimension p-1 V0, V1, V2, ...,Vn-1.
On prend au départ un point au hasard P0 et on regarde sa position par rapport à V0. Soit il n'appartient pas à V0, dans ce cas il peut être placé dans une boule de rayon r ne rencontrant pas R0, soit il appartient à V0. S'il appartient à V0, tout point translaté de P0 suivant la direction orthogonale à V0 n'appartient pas à V0, donc on peut construire à partir de P0 un point P1 centre d'une boule qui ne rencontre pas V0. Par la suite on construit P2 à partir de P1 comme P1 à partir de P0 en s'assurant que P2 est dans la boule de centre P1 et ne rencontrant pas V0, on construit ainsi un point P2 qui est centre d'une boule ne rencontrant ni V0 ni V1, et ainsi de suite, le processus prend fin parce que la suite V0, V1, ..., Vn-1 est fini.

Merci, mais pouvez vous illustrer cette solution par un exemple pour bien comprendre ?

[Zavonen]

Je peux traiter le cas n=2
Disons X=(1,2) T(X)=(2,1)
On cherche W dans H d'équation x+y=1
Le plan orthogonal à X-T(X) a pour équation x-y=0
De fait Il faut trouver dans H un point qui ne vérifie pas x=y
prendre W=(1,0) et c'est bon W.X=1 W.T(X)=2
Vous pouvez traiter vous-mêmes le cas n=3

[Onimaru]

Je peux traiter le cas n=2
Disons X=(1,2) T(X)=(2,1)
On cherche W dans H d'équation x+y=1
Le plan orthogonal à X-T(X) a pour équation x-y=0
De fait Il faut trouver dans H un point qui ne vérifie pas x=y
prendre W=(1,0) et c'est bon W.X=1 W.T(X)=2
Vous pouvez traiter vous-mêmes le cas n=3

je n'ai pas compris pourquoi vous avez choisi l'équation x+y=0, si je n'abuse pas un autre exemple avec au moins 5 éléments pour bien comprendre.
Merci

[Zavonen]

Moi, j'ai assez bossé. Ce problème c'est le vôtre pas le mien.
Traitez d'abord vous même le cas n=3
avec X=(1,2,3)
Écrivez les 6 permutés de T(X) de X
calculez les 6 vecteurs X-T(X)
et trouvez W dans le plan x+y+z=1
qui ne soit orthogonal à aucun de ces 6 vecteurs.
Après on verra.

[Onimaru]

Moi, j'ai assez bossé. Ce problème c'est le vôtre pas le mien.
Traitez d'abord vous même le cas n=3
avec X=(1,2,3)
Écrivez les 6 permutés de T(X) de X
calculez les 6 vecteurs X-T(X)
et trouvez W dans le plan x+y+z=1
qui ne soit orthogonal à aucun de ces 6 vecteurs.
Après on verra.

Salut si je te demande de faire un exemple c'est que je n'ai pas compris,
surtout pourquoi x+y=1 ou x+y+z=1 ou x+y+z+t+...=1?

[Invité]

Bonjour,
Si j'ai bien lu, il y a un exemple au topic 48.
Mais je remarque que vous n'avez pas répondu à ma question (topic 31).

[pseudocode]

Salut si je te demande de faire un exemple c'est que je n'ai pas compris,
surtout pourquoi x+y=1 ou x+y+z=1 ou x+y+z+t+...=1?

Ca vient de tes hypothèses sur W

1. W doit être un vecteur non nul (car tu dois diviser par la somme de ses composantes)
2. Si W est une solution, alors k.W (k réel non nul) l'est aussi

Bref, on peut se limiter a chercher un W avec une 'norme' égale à 1 (ou n'importe quelle valeur non nulle)

[Onimaru]

Bonjour,
Si j'ai bien lu, il y a un exemple au topic 48.
Mais je remarque que vous n'avez pas répondu à ma question (topic 31).

Éclaire nous alors.

[Onimaru]

Ca vient de tes hypothèses sur W

1. W doit être un vecteur non nul (car tu dois diviser par la somme de ses composantes)
2. Si W est une solution, alors k.W (k réel non nul) l'est aussi

Bref, on peut se limiter a chercher un W avec une norme égale à 1 (ou n'importe quelle valeur non nulle)

Merci, donc pas forcément x+y+z=1 ?

[pseudocode]

Merci, donc pas forcément x+y+z=1 ?

Non, pas "forcément". N'importe quelle valeur non nulle fera l'affaire.

[Onimaru]

Non, pas "forcément". N'importe quelle valeur non nulle fera l'affaire.

il faut toujours une équation de plan genre x+y+z ou pas forcément?

[pseudocode]

il faut toujours une équation de plan genre x+y+z ou pas forcément?

Bah, c'est ton énoncé:

6) Soit x une application de E(X) x R^n dans R qui vérifie :
x(X', W(X')) = Somme_Composantes(X' . W(X')) / Somme_Composantes(W(X')).

[Onimaru]

Bah, c'est ton énoncé:

Je vois maintenant merci.

[Onimaru]

Exemple avec X = (1,2,3).

Les T(X) possibles :
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)

Les X - T(X) :
(0,0,0)
(0,-1,1)
(-1,1,0)
(-1,-1,2)
(-2,1,1)
(-2,0,2)

Donc on va résoudre le système d'équations :
x + y + z == a (a non nulle)
- y + z != 0
-x + y !=0
-x - y + 2z !=0
-2x + y + z !=0
-2x + 2z !=0

par exemple W = (a/2, a/3, a/6)
qui vérifie toutes les équations.
C'est comme ça qu'il faut faire?