Discussion :

[Onimaru]

Salut à tous, est ce que quelqu'un pourra m'expliquer d'une façon claire ce théorème de Dirichlet ?

[Champialex]

A priori, la definition de wikipedia est assez claire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...n_arithmétique
Par exemple, si tu prend 2 et 3 : dans l'ensemble {2+3k, k€N} il ya une infinité de nombres premiers!

[Onimaru]

A priori, la definition de wikipedia est assez claire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...n_arithmétique
Par exemple, si tu prend 2 et 3 : dans l'ensemble {2+3k, k€N} il ya une infinité de nombres premiers!

Merci pour ton aide, mais il y a une chose que je ne comprends pas dans "Signification du théorème" par rapport au tableau si vous pouvez m'en dire plus?

[Champialex]

Le tableau donné n'est qu'un exemple : on pourrait aussi prendre le tableau suivant
1 5 9 13 ...
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

La ligne i est en fait l'ensemble des {i + base*k, k€N}, où base vaut 9 sur wikipedia et 4 ici.
On remarque donc, que d'après le théorème, les lignes ou i et bases sont premiers entre eux contiennent une infinité de nombres premiers.
A l'inverse, les lignes où ils ne le sont pas en contiennent au plus un :
soit a>1 un diviseur premier commun à i et à base,
alors : il existe j et c dans N* tels que i=a*j et base=a*c
Un nombre n de la ligne i s'écrit i + base*k où k€N
i + base*k = a*j + a*c*k = a*(j + c*k)
deux cas :
cas 1 : (j + c*k)=1
<=> k=0, j=1
<=> n est dans la première colonne et est premier

cas 2 :
(j + c*k)>1
=> n n'est pas premier

Dans mon exemple, la ligne 2 ne contient qu'un seul nombre premier, et la ligne 4 n'en contient aucun.

[Onimaru]

Le tableau donné n'est qu'un exemple : on pourrait aussi prendre le tableau suivant
1 5 9 13 ...
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

La ligne i est en fait l'ensemble des {i + base*k, k€N}, où base vaut 9 sur wikipedia et 4 ici.
On remarque donc, que d'après le théorème, les lignes ou i et bases sont premiers entre eux contiennent une infinité de nombres premiers.
A l'inverse, les lignes où ils ne le sont pas en contiennent au plus un :
soit a>1 un diviseur premier commun à i et à base,
alors : il existe j et c dans N* tels que i=a*j et base=a*c
Un nombre n de la ligne i s'écrit i + base*k où k€N
i + base*k = a*j + a*c*k = a*(j + c*k)
deux cas :
cas 1 : (j + c*k)=1
<=> k=0, j=1
<=> n est dans la première colonne et est premier

cas 2 :
(j + c*k)>1
=> n n'est pas premier

Dans mon exemple, la ligne 2 ne contient qu'un seul nombre premier, et la ligne 4 n'en contient aucun.

Merci, maintenant je vois clair.