Discussion :

[elglantosimpatico]

Bonjour,

J'ai donc les deux équations suivantes (pièce jointe).
Donc un système linéaire et une condition sur les solutions. Cela représente un système physique, donc lorsque le système est résolu, la condition sur les solution est vérifiée. De plus, celle-ci pour être utilisée dans certains cas.
Par exemple, dans le cas 1, grâce à celle-ci, on peut trouver x après avoir trouver y et z.

Pensez-vous qu'il soit possible d'écrire un algorithme permettant de résoudre ce système. Au début, je pensais faire avec le pivot de Gauss mais en regardant plus cette méthode, il me semble qu'elle n'est pas applicable dans mon cas, car elle ne semble pas assez générale.
J'y réfléchis donc depuis peu mais cela me semble un peu farfelu d'essayer d'avoir un programme pour résoudre ce système de manière systématique. Sachant que comme cela part d'un problème physique, il y aura toujours des solutions.

Qu'en pensez-vous?

[FR119492]

Salut!
La matrice de ton système linéaire est-elle singulière?
Jean-Marc Blanc

[elglantosimpatico]

Cela peut arriver (cas 1) mais dans ce cas l'équation sur les solutions de l'équation permet de s'en sortir.

J'ai regardé un peu sur le net et ai trouvé des articles parlant d'un "Huang algorithm" ou "Huang method".

Connaissez-vous cela?

[Nebulix]

Si M.V=vecteur_nul, M est singulière.
Le problème parait mal posé.

[FR119492]

Salut!

Cela peut arriver

Si la matrice n'est pas singulière, le problème n'admet aucune solution.
Jean-Marc Blanc

[elglantosimpatico]

En fait, de ce que j'ai compris, c'est si la matrice est non inversible, elle est dite singulière et donc il n'y a pas de solution unique.
Et c'est là qu'intervient la seconde équation x^2+y^2+z^2=1.
Par exemple, sir le cas 1, on trouve :

B2y + B3z = 0 => y = B3z/B2
C2y + C3z = 0 => y = C3z/C2

Cela implique donc que y=z=0 mais on ne sait pas pour x.
Or, x^2+y^2+z^2=1, donc x=1.

Le système n'admettait donc pas de solution. Mais avec la seconde équation, on a une nouvelle condition qui permet de trouver la solution.

J'aurais donc souhaité créer quelque chose gérant tout cela. Mais je ne pense pas que cela soit possible.

[gorgonite]

Par exemple, sir le cas 1, on trouve :

B2y + B3z = 0 => y = B3z/B2
C2y + C3z = 0 => y = C3z/C2

Cela implique donc que y=z=0 mais on ne sait pas pour x.

euh... d'où sors-tu ton "y=z=0" ici ?
c'est certes une solution évidente, mais rien ne te dit que ce soit la seule

par ailleurs, il manquerait pas des "-"
B2*y + B3*z = 0 => y = -B3*z/B2
C2*y + C3*z = 0 => y = -C3*z/C2

enfin, il faut sans doute distinguer les cas B2=0 B2<>0

[Nebulix]

J'aurais donc souhaité créer quelque chose gérant tout cela. Mais je ne pense pas que cela soit possible.

Quand tu auras remplacé le mot "gérer" par un autre qui signifie ce que tu veux faire, peut-être que ce sera possible ...

[Aleph69]

Bonsoir,

ton problème est très simple.
Si ta matrice est inversible, ton problème n'admet aucune solution.
Si elle est singulière, sont solutions tous les vecteurs propres unitaires associés à la valeur propre nulle. Il y en a autant que la multiplicité de ta valeur propre nulle.

Différents algorithmes sont possibles pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice.

Pour commencer, tu peux lire le livre de Youssef Saad, "Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems" :
http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html

ou le livre suivant, plus récent et co-signé par des nombreux spécialistes du domaine :
http://www.cs.utk.edu/~dongarra/etemplates/index.html

[Invité]

Bonjour,
Il y a peut-être un truc qui m'échappe.
Il s'agit d'un système de 3 équation à 3 inconnues. Ce système admet en général une solution et une seule.
La seconde ligne racine( ... ) sera généralement non vérifiée, sauf si, étant donné que cela représente une réalité physique, elle est toujours vérifiée.
Pardon si j'ai dit des bêtises

[Aleph69]

Il s'agit d'un système de 3 équation à 3 inconnues. Ce système admet en général une solution et une seule.

En fait, il y a trois possibilités. Si Ax=b est un système linéaire carré, alors
1. il admet une unique solution x si et seulement si la matrice A est inversible : le système est alors dit inversible ou régulier;
2. il admet une infinité de solutions si et seulement si A est singulière et b appartient à l'image de A : le système est alors dit consistant;
3. il n'admet aucune solution si et seulement si A est singulière et b n'est pas dans l'image de A.

Malgré les apparences, le problème posé dans cette discussion est non-linéaire : c'est un problème aux valeurs propres.

[elglantosimpatico]

euh... d'où sors-tu ton "y=z=0" ici ?
c'est certes une solution évidente, mais rien ne te dit que ce soit la seule

par ailleurs, il manquerait pas des "-"
B2*y + B3*z = 0 => y = -B3*z/B2
C2*y + C3*z = 0 => y = -C3*z/C2

enfin, il faut sans doute distinguer les cas B2=0 B2<>0

Tout à fait, j'ai oublié d'écrire les moins. Et vrai aussi pour y=z=0

Quand tu auras remplacé le mot "gérer" par un autre qui signifie ce que tu veux faire, peut-être que ce sera possible ...

En fait, par "gerer", je voulais dire, trouver dire trouver le solutions du système comme expliqué dans mon premier post.

En fait, il y a trois possibilités. Si Ax=b est un système linéaire carré, alors
1. il admet une unique solution x si et seulement si la matrice A est inversible : le système est alors dit inversible ou régulier;
2. il admet une infinité de solutions si et seulement si A est singulière et b appartient à l'image de A : le système est alors dit consistant;
3. il n'admet aucune solution si et seulement si A est singulière et b n'est pas dans l'image de A.

Malgré les apparences, le problème posé dans cette discussion est non-linéaire : c'est un problème aux valeurs propres.

Je pense que le calcul des vecteurs propre est déjà un bon départ et résoudra une bonne partie des cas.

Par contre, admettons que ma matrice soit la suivante :

M=(-1,-3;-2,2)

Ces valeurs propres sont donc -1 et 4. Deux vecteurs propres sont donc (3,2) et (1,-1). Cela est facile à faire à la main. Mais dans un programme, il n'y a pas de raison qu'il donne plus (3,2) que (0,0) par exemple. Comment feriez-vous donc pour l'obliger à trouver le bon vecteur propre (x,y).
Soit, dans mon cas, le vecteur propre (x,y,z) qui vérifie x^2+y^2+z^2=1.

Je suis désolé si je suis pas toujours très clair mais ce n'est déjà pas très clair pour moi.

[Aleph69]

Par contre, admettons que ma matrice soit la suivante :

M=(-1,-3;-2,2)

Votre matrice est inversible donc n'admet pas de valeur propre nulle : votre problème n'a pas de solution dans ce cas.

Comment feriez-vous donc pour l'obliger à trouver le bon vecteur propre (x,y).
Soit, dans mon cas, le vecteur propre (x,y,z) qui vérifie x^2+y^2+z^2=1.

Une fois que vous connaissez des vecteurs propres, il suffit de les normaliser pour vérifier votre contrainte. En pratique, c'est ce qui est fait dans les algorithmes classiques car ils procèdent par orthonormalisation d'un espace de Krylov. Il s'agit des algorithmes d'Arnoldi et de Lanczos.